本文涵蓋 坐標幾何 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（1）及（2）經常出現的課題，佔 3–5 分。 你將學習如何運用距離公式求 兩點間的距離、 如何求線段的 中點，以及如何求直線的 斜率。 你亦會學習如何以不同形式書寫 直線方程， 以及如何判斷兩直線的 平行與垂直 關係。 文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題。 這些是 必備技能，在 DSE 試卷中經常出現。
完成本文後，你應能夠：
坐標幾何 每年 都在 DSE 卷一甲部（1）及（2）出現。題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在圓方程及進階坐標幾何中出現。
坐標幾何的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（1），每題 2–3 分；在甲部（2）則以 較長題目 形式出現，每題 4–5 分。
兩點 \( A(x_1, y_1) \) 與 \( B(x_2, y_2) \) 之間的 距離 為：
此公式由 畢氏定理 推導得出。距離永遠為非負數。
題目：求 \( A(2, 3) \) 與 \( B(5, 7) \) 之間的距離。
\( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
答案：\( 5 \) 單位。
連接 \( A(x_1, y_1) \) 與 \( B(x_2, y_2) \) 的線段之 中點 \( M \) 為：
中點是 x 坐標和 y 坐標的 平均值。
題目：求 \( A(2, 3) \) 與 \( B(6, 9) \) 的中點。
\( M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (4, 6) \)
答案：\( (4, 6) \)。
通過 \( A(x_1, y_1) \) 與 \( B(x_2, y_2) \) 的直線之 斜率（或坡度）為：
題目：求通過 \( A(2, 3) \) 與 \( B(5, 11) \) 的直線之斜率。
\( m = \frac{11 - 3}{5 - 2} = \frac{8}{3} \)
答案：\( \frac{8}{3} \)。
若直線通過 \( (x_1, y_1) \) 且斜率為 \( m \)：
若直線斜率為 \( m \)，y 截距為 \( c \)：
$$ Ax + By + C = 0 $$
題目：求通過 \( (2, 3) \) 且斜率為 \( 4 \) 的直線方程。
用點斜式：\( y - 3 = 4(x - 2) \)
\( y - 3 = 4x - 8 \)
\( y = 4x - 5 \)
答案：\( y = 4x - 5 \)。
平行：斜率相同。垂直：斜率互為 負倒數。
題目：直線 \( y = 2x + 3 \) 與 \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \) 是否垂直？
\( m_1 = 2 \)，\( m_2 = -\frac{1}{2} \)
\( m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \)
答案：是，它們互相垂直。
題目：求 \( (-2, -1) \) 與 \( (4, 7) \) 之間的距離。
\( d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
答案：\( 10 \) 單位。
題目：求連接 \( (0, 5) \) 與 \( (8, 13) \) 的線段之中點。
\( M = \left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{5 + 13}{2} \right) = (4, 9) \)
答案：\( (4, 9) \)。
題目：求通過 \( (1, -2) \) 與 \( (3, 4) \) 的直線方程。
斜率：\( m = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
用點斜式：\( y - (-2) = 3(x - 1) \)
\( y + 2 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 5 \)
答案：\( y = 3x - 5 \)。
題目 1 MC
求 \( (1, 2) \) 與 \( (4, 6) \) 之間的距離。
A. \( 3 \) B. \( 4 \) C. \( 5 \) D. \( 6 \)
題目 2 MC
\( (3, 7) \) 與 \( (9, 3) \) 的中點是：
A. \( (6, 5) \) B. \( (5, 6) \) C. \( (3, 2) \) D. \( (12, 10) \)
題目 3 短答
求通過 \( (-2, 5) \) 與 \( (4, -1) \) 的直線之斜率。
題目 4 短答
求斜率為 \( -\frac{1}{2} \) 且通過 \( (0, 3) \) 的直線方程。
題目 5 MC
以下哪條直線與 \( y = 3x - 2 \) 垂直？
A. \( y = 3x + 1 \) B. \( y = -\frac{1}{3}x + 5 \) C. \( y = -3x + 4 \) D. \( y = \frac{1}{3}x - 2 \)
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練習編 - 坐標幾何（一）｜距離、中點及斜率