本文涵蓋 代數分式及因式分解 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（1）及（2）經常出現的課題，佔 4–6 分。你將學習如何 化簡代數分式、進行 四則運算（加、減、乘、除）， 以及運用 因式分解技巧，包括 提取公因式、分組、十字相乘法及恆等式。 本文亦介紹 因式定理 及 餘式定理——這些是處理多項式的重要工具。 文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題及 10 題功課（附詳細題解）。 這些都是 必備技能，亦是進階代數課題的基礎。
完成本文後，你應能夠：
代數分式及因式分解的題目 每年 都在 DSE 卷一甲部（1）及（2）出現。 題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在二次方程及函數等進階課題中出現。及早掌握！
代數分式及因式分解的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（1）及（2），每題 3–4 分，測試你的代數運算能力。
代數分式 是指分子及／或分母含有代數表達式的分數。 化簡的方法是 因式分解 分子及分母，然後 約去公因數。
化簡：\( \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} \)
\( \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x} \)，其中 \( x \neq 0, 2 \)
你不能約去 相加或相減 的項——只能約去 相乘 的因數。例如，你不能在 \( \frac{x+2}{x+3} \) 中約去 \( x \)。
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$
先因式分解及約分，然後相乘。
\( \frac{x^2-1}{x} \times \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x} \times \frac{2x}{x+1} = 2(x-1) \)
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $$
將第二個分數取倒數（反轉），然後相乘。
\( \frac{x^2-9}{x} \div \frac{x-3}{x+2} = \frac{(x-3)(x+3)}{x} \times \frac{x+2}{x-3} = \frac{(x+3)(x+2)}{x} \)
$$ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} $$
先找 最小公分母（LCD），然後合併分子。
\( \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1) + 3x}{x(x+1)} = \frac{2x+2+3x}{x(x+1)} = \frac{5x+2}{x(x+1)} \)
找出所有項的 最大公因數（HCF），然後提取出來。
\( 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) \)
將項分組，每組有公因數，然後分別提取。
\( 2x^2 + 6x + 3x + 9 = 2x(x+3) + 3(x+3) = (2x+3)(x+3) \)
對於 \( ax^2 + bx + c \)，找兩個數相乘等於 \( ac \)，相加等於 \( b \)。
\( 2x^2 + 7x + 3 = (2x+1)(x+3) \)
驗算：\( (2x+1)(x+3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 \)
\( 9x^2 - 16 = (3x-4)(3x+4) \)
\( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \)
若 \( P(x) \) 為多項式，且 \( P(a) = 0 \)， 則 \( (x-a) \) 是 \( P(x) \) 的因式。
因式定理：若 \( P(a) = 0 \)，則 \( (x-a) \) 是因式。
題目：證明 \( (x-2) \) 是 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) 的因式。
\( P(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \)
由於 \( P(2) = 0 \)，\( (x-2) \) 是 \( P(x) \) 的因式。
當多項式 \( P(x) \) 除以 \( (x-a) \) 時， 餘數 為 \( P(a) \)。
餘式定理：\( P(x) \) 除以 \( (x-a) \) 的餘數為 \( P(a) \)。
題目：求 \( P(x) = 2x^3 - 3x + 5 \) 除以 \( (x-1) \) 的餘數。
\( P(1) = 2(1)^3 - 3(1) + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \)
餘數 = 4
題目：化簡 \( \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} \)。
因式分解分子：\( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \)
因式分解分母：\( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \)
\( \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3} \)，其中 \( x \neq \pm 3 \)
題目：化簡 \( \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2} \)。
LCD = \( (x-1)(x+2) \)
\( \frac{3(x+2) + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3x+6+2x-2}{(x-1)(x+2)} = \frac{5x+4}{(x-1)(x+2)} \)
題目：將 \( P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \) 完全因式分解。
測試 \( x = 2 \)：\( P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0 \)。所以 \( (x-2) \) 是因式。
長除法：\( P(x) = (x-2)(x^2 - 2x - 3) \)
因式分解二次式：\( x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \)
答案：\( P(x) = (x-2)(x-3)(x+1) \)
題目 1 MC
化簡 \( \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} \)。
A. \( \frac{x-2}{x+2} \) B. \( \frac{x+2}{x-2} \) C. \( \frac{x-2}{x} \) D. \( \frac{x}{x+2} \)
題目 2 MC
因式分解 \( 2x^2 + 5x - 3 \)。
A. \( (2x-1)(x+3) \) B. \( (2x+1)(x-3) \) C. \( (2x-3)(x+1) \) D. \( (2x+3)(x-1) \)
題目 3 短答
化簡 \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} \)。
題目 4 短答
求 \( P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 \) 除以 \( (x-2) \) 的餘數。
題目 5 MC
以下哪項是 \( P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \) 的因式？
A. \( (x-2) \) B. \( (x+2) \) C. \( (x-3) \) D. \( (x+3) \)
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練習編 - 代數分式與因式分解｜完整攻略