本操練包含 30 道 DSE 風格題目，涵蓋代數分式及因式分解的所有關鍵技巧。 題目由淺入深，從簡單化簡到複雜的混合運算（加、減、乘、除），並涉及提取公因式、十字相乘法、恆等式及分組法。 文末附有 完整答案。建議在 45–60 分鐘內完成，以模擬考試環境。
學習目標
- 透過因式分解及約簡化簡代數分式。
- 進行代數分式的加、減、乘、除運算。
- 運用所有因式分解技巧（提取公因式、十字相乘法、恆等式、分組法）。
- 處理單一表達式中的混合運算。
- 提升 DSE 卷一甲部的解題速度與準確度。
引言
這套操練專為 DSE 卷一甲部設計，涵蓋最常見的題型。全卷分為三部分：
- 第一部分（第 1–10 題）： 化簡（單一分式，因式分解及約簡）。
- 第二部分（第 11–20 題）： 乘法及除法（包括 KFC 法）。
- 第三部分（第 21–30 題）： 加法及減法（找出 LCD，合併，化簡）。
請於 45–60 分鐘 內完成所有題目，以模擬真實考試。完成後對照答案，檢視弱項。
第一部分：化簡（第 1–10 題）
將下列各分式化簡至最簡形式。
- \(\displaystyle \frac{6x-12}{3}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)
- \(\displaystyle \frac{2x^2-8}{x^2-4x+4}\)
- \(\displaystyle \frac{3x^2-12x+12}{x-2}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x^2-4}\)
- \(\displaystyle \frac{4x^2-9}{2x^2+3x-2}\)
- \(\displaystyle \frac{x^3-8}{x^2-4}\)
- \(\displaystyle \frac{2x^2-18}{4x^2-12x}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2-2x-15}{x^2-7x+12}\)
- \(\displaystyle \frac{6x^2-24}{3x^2-6x}\)
第二部分：乘法及除法（第 11–20 題）
化簡下列各表達式。
- \(\displaystyle \frac{2x}{5} \times \frac{15}{4x^2}\)
- \(\displaystyle \frac{x+1}{x-2} \times \frac{x^2-4}{x^2-1}\)
- \(\displaystyle \frac{3x+6}{2x-4} \times \frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x^2-1} \times \frac{x+1}{x-2}\)
- \(\displaystyle \frac{2x^2+5x+2}{x^2-4} \times \frac{x-2}{2x+1}\)
- \(\displaystyle \frac{7x-14}{3x} \div \frac{4x-8}{7}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2-4} \div \frac{x+3}{x+2}\)
- \(\displaystyle \frac{x}{x+1} \div \frac{x^2}{x^2-1}\)
- \(\displaystyle \frac{2x^2-8}{x^2-4x+4} \div \frac{x+2}{x-2}\)
- \(\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2-1}\)
第三部分：加法及減法（第 21–30 題）
將下列各表達式合併為單一分式。
- \(\displaystyle \frac{3}{x} + \frac{2}{x}\)
- \(\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}\)
- \(\displaystyle \frac{5}{x} - \frac{2}{x+3}\)
- \(\displaystyle \frac{4}{x} - \frac{2}{x-1}\)
- \(\displaystyle \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1}\)
- \(\displaystyle \frac{2}{x^2-4x+3} - \frac{3}{x^2-3x+2}\)
- \(\displaystyle \frac{x}{x^2-1} + \frac{1}{x^2-2x+1}\)
- \(\displaystyle \frac{3}{x^2+3x+2} + \frac{2}{x^2+2x+1}\)
- \(\displaystyle \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{x}{x^2-4}\)
- \(\displaystyle \frac{4}{x^2-5x+6} - \frac{3}{x^2-4x+3} + \frac{2}{x^2-3x+2}\)
答案（全部 30 題）
第一部分（第 1–10 題）
1. \(2x-4\)
2. \(\displaystyle \frac{x-3}{x+3}\)
3. \(\displaystyle \frac{2(x+2)}{x-2}\)
4. \(3(x-2)\)
5. \(\displaystyle \frac{x+3}{x-2}\)
6. \(\displaystyle \frac{(2x-3)(2x+3)}{(2x-1)(x+2)}\)
7. \(\displaystyle \frac{x^2+2x+4}{x+2}\)
8. \(\displaystyle \frac{x+3}{2x}\)
9. \(\displaystyle \frac{(x-5)(x+3)}{(x-3)(x-4)}\)
10. \(\displaystyle \frac{2(x+2)}{x}\)
第二部分（第 11–20 題）
11. \(\displaystyle \frac{3}{2x}\)
12. \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}\)
13. \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
14. \(\displaystyle \frac{x-2}{x-1}\)
15. \(1\)
16. \(\displaystyle \frac{49}{12x}\)
17. \(\displaystyle \frac{x-3}{x-2}\)
18. \(\displaystyle \frac{x-1}{x}\)
19. \(2\)
20. \(\displaystyle \frac{x+1}{x-1}\)
第三部分（第 21–30 題）
21. \(\displaystyle \frac{5}{x}\)
22. \(\displaystyle \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\)
23. \(\displaystyle \frac{3x+15}{x(x+3)}\)
24. \(\displaystyle \frac{2x-4}{x(x-1)}\)
25. \(\displaystyle \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}\)
26. \(\displaystyle \frac{-x+5}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
27. \(\displaystyle \frac{x^2+1}{(x-1)^2(x+1)}\)
28. \(\displaystyle \frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}\)
29. \(\displaystyle \frac{4(x+1)}{x(x-2)(x+2)}\)
30. \(\displaystyle \frac{3x-4}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
温習清單
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我能運用提取公因式、十字相乘法、恆等式及分組法因式分解多項式。
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我能透過因式分解及約簡化簡代數分式。
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我能進行代數分式的乘法及除法，包括交叉約簡及 KFC 法。
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我能找出 LCD 進行代數分式的加減運算。
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我能有系統地處理混合運算（如多個分式相加）。
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我能在 45–60 分鐘內完成 30 題，並保持良好準確度。