在 DSE 卷一甲部(2)，你經常遇到需要 先因式分解，再 化簡代數分式 的題目。 這種綜合技能是常見的得分點（4–6 分）。本文教你 系統化的方法：將每個多項式完全因式分解， 約去公因式，然後化簡分式。你將學會處理 二次三項式、平方差、完全平方和分組法 – 全部在同一題中。 包含逐步例題、應試技巧、練習題。
許多 DSE 考生能單獨因式分解二次式或化簡代數分式，但當兩者結合時卻感到困難。在卷一甲部(2)，你經常被給予一個 有理表達式（分子分母都是多項式的分式），並要求 化簡 它。關鍵在於 在嘗試約分之前，先將每個多項式完全因式分解。
本文將通過 逐步策略 引導你完成這個過程：
我們將通過涉及 二次三項式、平方差、完全平方和分組法 的例題來學習。
先因式分解，後約分，需要時再合併（加/減）。 絕不要在因式分解之前嘗試約分 – 你可能會非法約去項。
化簡 \(\displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x^2-4}\)。
解：
因式分解分子：\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\)。
因式分解分母：\(x^2-4 = (x+2)(x-2)\)（平方差）。
約去公因式 \((x+2)\)： \[ \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2}. \]
答案： \(\displaystyle \frac{x+3}{x-2}\)。
化簡 \(\displaystyle \frac{2x^2-8}{x^2-4x+4}\)。
解：
分子：\(2x^2-8 = 2(x^2-4) = 2(x+2)(x-2)\)。
分母：\(x^2-4x+4 = (x-2)^2\)（完全平方）。
約去公因式 \((x-2)\)： \[ \frac{2(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{2(x+2)}{x-2}. \]
答案： \(\displaystyle \frac{2(x+2)}{x-2}\)。
化簡 \(\displaystyle \frac{2}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1}\)。
解：
因式分解每個分母：
\(x^2-1 = (x+1)(x-1)\)，
\(x^2+2x+1 = (x+1)^2\)。
LCD 為 \((x+1)^2(x-1)\)。
\[ \frac{2}{(x+1)(x-1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)}{(x+1)^2(x-1)} + \frac{(x-1)}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{2x+2 + x - 1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{3x+1}{(x+1)^2(x-1)}. \]
分子 \(3x+1\) 無法繼續因式分解。
答案： \(\displaystyle \frac{3x+1}{(x+1)^2(x-1)}\)。
化簡 \(\displaystyle \frac{x}{x^2-3x+2} - \frac{2}{x^2-1}\)。
解：
因式分解：\(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\)，
\(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)。
LCD 為 \((x-1)(x-2)(x+1)\)。
\[ \frac{x}{(x-1)(x-2)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x-2)(x+1)} - \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{x^2+x - 2x + 4}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{x^2 - x + 4}{(x-1)(x-2)(x+1)}. \]
分子 \(x^2 - x + 4\) 的判別式為 \((-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0\)，因此在整數範圍內無法因式分解。
答案： \(\displaystyle \frac{x^2 - x + 4}{(x-1)(x-2)(x+1)}\)。
將下列各表達式完全化簡。
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練習編 - 綜合題：因式分解 + 代數分式化簡