很多 DSE 題目將一次方程與 百分比 及 比 結合。 本文教你如何將百分比增加／減少、利潤／虧蝕及比關係轉化為一次方程。 你會學到 逐步策略 應付這類跨課題題目，涵蓋常見 DSE 情境如人口增長、銷售折扣、混合問題及按比分攤金額。附有練習題及作業以鞏固技巧。
在 DSE 數學中，題目經常結合兩個或以上的課題。常見組合是 一次方程與百分比或比。 這類題目在卷一甲部(1) 以長題目出現，在卷二則為多項選擇題。你可能被要求求某個數量在百分比變化後的值，或按比分攤金額。
關鍵是將百分比或比資訊 轉化 為代數方程。對於百分比，記住：
對於比，若兩個量之比為 \(a:b\)，則可寫成 \(a k\) 和 \(b k\)，其中 \(k\) 為共同因子。
本文將引導你處理典型的 DSE 跨課題題目。
始終辨識 原來數量（100%）和 新數量。 寫出關係：\(\text{新值} = \text{原值} \times \text{因子}\)。
加薪 20% 後，薪金為 $3600。求原來薪金。
解：
設原來薪金為 \(x\)。
增加因子 = \(1 + \frac{20}{100} = 1.2\)。
方程：\(1.2x = 3600 \Rightarrow x = \frac{3600}{1.2} = 3000\)。
答案： $3000。
一件貨品減價 15% 後售 $85。求原價。
解：
設原價為 \(x\)。
減少因子 = \(1 - \frac{15}{100} = 0.85\)。
方程：\(0.85x = 85 \Rightarrow x = \frac{85}{0.85} = 100\)。
答案： $100。
店主以 $200 購入一件貨品，並以 25% 利潤售出。求售價。
解：
利潤因子 = \(1 + 0.25 = 1.25\)。
售價 = \(200 \times 1.25 = 250\)。
答案： $250。
若利潤是售價的 25%，則設方程會不同 – 緊記檢查基準。
若兩個量之比為 \(a:b\)，將它們寫成 \(a k\) 和 \(b k\)。利用給定的和或差來求 \(k\)。
總數 $500 按 3:2 分給 A 和 B。各得多少？
解：
設金額為 \(3k\) 和 \(2k\)。
總和：\(3k + 2k = 500 \Rightarrow 5k = 500 \Rightarrow k = 100\)。
A：\(3k = 300\)，B：\(2k = 200\)。
答案： A 得 $300，B 得 $200。
兩個數之比為 5:3，它們的差是 18。求這兩個數。
解：
設兩數為 \(5k\) 和 \(3k\)。
差：\(5k - 3k = 2k = 18 \Rightarrow k = 9\)。
數值：\(5k = 45\)，\(3k = 27\)。
答案： 45 和 27。
有些問題同時涉及百分比和比。例如，某量是另一量的某個百分比，並且給定它們的比。
某校男生與女生之比為 4:3。若男生人數增加 10%，女生人數增加 20%，總人數增加 50。求原來男生和女生人數。
解：
設原來男生 = \(4k\)，女生 = \(3k\)。
新男生 = \(4k \times 1.1 = 4.4k\)，新女生 = \(3k \times 1.2 = 3.6k\)。
總增加：\((4.4k + 3.6k) - (4k + 3k) = 8k - 7k = k\)。
增加量 = 50，所以 \(k = 50\)。
原來男生 = \(4 \times 50 = 200\)，女生 = \(3 \times 50 = 150\)。
答案： 200 名男生，150 名女生。
一種溶液含 30% 酸。需加入多少純酸到 50 升中，使其成為 40% 溶液？
解：
設加入的純酸為 \(x\) 升。
原有酸量 = \(0.3 \times 50 = 15\) 升。
加入後：總酸 = \(15 + x\)，總體積 = \(50 + x\)。
要成為 40%：\(\frac{15 + x}{50 + x} = 0.4\)。
乘以分母：\(15 + x = 0.4(50 + x) = 20 + 0.4x\)。
\(x - 0.4x = 20 - 15 \Rightarrow 0.6x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{0.6} = \frac{25}{3} \approx 8.33\) 升。
答案： \( \frac{25}{3} \) 升（約 8.33 升）。
解下列各題，完整解題步驟在後。
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練習編 - 跨課題應用：含百分比／比的方程