在 DSE 卷一乙部，你經常會遇到結合了 線性方程 和 二次方程 的方程組。幾何上，這代表求直線與拋物線（或圓）的交點。 本文教你使用 代入法 解這類方程組：將線性方程解出一個變數，代入二次方程， 然後解所得的二次方程。你將學習如何處理 兩個交點、一個交點（相切）和沒有交點 的情況。 內容包括逐步例題、應試技巧及大量練習。
學習目標
- 理解一個線性方程和一個二次方程組成的方程組的結構。
- 使用 代入法 解這類方程組（將線性表達式代入二次方程）。
- 將解詮釋為 直線與曲線的交點。
- 處理有兩個解、一個解（相切）和無實數解（判別式 < 0）的情況。
- 將這些技巧應用於 DSE 卷一乙部的題目。
引言
在 DSE 卷一乙部，你可能會被要求解像這樣的方程組：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \quad \text{(線性)} \\
y = x^2 - 3x + 4 \quad \text{(二次)}
\end{cases}
\]
這代表求一條直線與一條拋物線的交點。方法很直接：
將線性方程代入二次方程，得到一個一元二次方程，然後求解。
實數解的數目（0、1 或 2）對應於交點的數目。
這項技巧亦在坐標幾何問題中測試，你需要求直線與曲線的交點。掌握此技巧將有助你在乙部奪取分數。
方法：代入法
關鍵步驟
- 從線性方程中，用 \(x\) 表示 \(y\)（或反之）。
- 將此表達式代入二次方程。
- 化簡得到一個一元二次方程。
- 解該二次方程（因式分解、配方法或公式）。
- 對每個 \(x\) 值，代回線性方程求對應的 \(y\) 值。
- 將解寫成有序對 \((x, y)\)。
常見陷阱
代入時，確保 整個表達式 正確代入。使用括號避免正負號錯誤。
另外，記住判別式告訴你交點的數目：
\(b^2-4ac > 0\) → 兩個交點；\(=0\) → 相切（一個交點）；\(<0\) → 沒有交點。
例題（DSE 風格）
例題 1 – 兩個交點
例題 1
解方程組：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \\
y = x^2 - 3x + 4
\end{cases}
\]
解：
將 \(y = x+1\) 代入二次方程：
\[
x + 1 = x^2 - 3x + 4
\]
移項：
\[
0 = x^2 - 4x + 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0
\]
因式分解：\((x-1)(x-3) = 0\) ⇒ \(x = 1\) 或 \(x = 3\)。
當 \(x=1\)：\(y = 1+1 = 2\)。
當 \(x=3\)：\(y = 3+1 = 4\)。
答案： \((1,2)\) 和 \((3,4)\)。
例題 2 – 沒有交點
例題 2
解方程組：
\[
\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = x^2 + x + 3
\end{cases}
\]
解：
代入：\(2x+1 = x^2 + x + 3\)
移項：\(x^2 - x + 2 = 0\)
判別式：\((-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0\)。
沒有實數解。
答案： 沒有交點（無實數解）。
判別式與交點數目
代入後，你得到一個二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)。判別式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 告訴你：
- \(\Delta > 0\)： 兩個相異實數解 → 兩個交點。
- \(\Delta = 0\)： 一個重根實數解 → 直線與曲線相切（一個交點）。
- \(\Delta < 0\)： 沒有實數解 → 直線與曲線沒有交點。
這是常見的判斷方法，無需完整求解即可知道交點數目。
DSE 應試技巧 – 卷一乙部
關鍵策略
- 總是先將線性方程代入二次方程。
- 將所得的二次方程寫成標準形式 \(ax^2+bx+c=0\)。
- 若題目要求交點，解二次方程並找出兩個坐標。
- 若只問交點數目，只需計算判別式。
- 相切問題：設判別式為零，解未知參數。
- 將答案代入兩個原方程驗算。
DSE 式練習題
解下列方程組，或判斷交點數目。
練習一 – 解方程組
- \(\begin{cases} y = x + 2 \\ y = x^2 - 2x \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = x^2 + x - 5 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = x^2 - 4x + 1 \end{cases}\)
練習二 – 交點數目
- 判斷直線 \(y = x+1\) 與拋物線 \(y = x^2-2x+2\) 的交點數目。
- 判斷直線 \(y = 2x-3\) 與拋物線 \(y = x^2-4x+5\) 的交點數目。
- 求 \(k\) 的值，使直線 \(y = kx+1\) 與拋物線 \(y = x^2-2x+3\) 相切。
練習三 – 混合
- \(\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x^2 - 2x + 1 \end{cases}\)
- 求直線 \(y = 2x\) 與圓 \(x^2 + y^2 = 20\) 的交點。（提示：將 \(y\) 代入圓方程。）
- 若直線 \(y = mx + 2\) 與拋物線 \(y = x^2 - 2x + 3\) 恰好有一個交點，求 \(m\)。
練習題解
練習一 解
- \(x+2 = x^2-2x \Rightarrow x^2-3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)。然後 \(y = x+2\)。交點：\(\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}, \frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)\) 和 \(\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{7-\sqrt{17}}{2}\right)\)。
- \(3x-1 = x^2+x-5 \Rightarrow x^2-2x-4=0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{5}\)。然後 \(y = 3x-1\)。
- \(2x-3 = x^2-4x+1 \Rightarrow x^2-6x+4=0 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{5}\)。
練習二 解
- \(x+1 = x^2-2x+2 \Rightarrow x^2-3x+1=0\)，判別式 \(9-4=5>0\) → 2 個交點。
- \(2x-3 = x^2-4x+5 \Rightarrow x^2-6x+8=0\)，判別式 \(36-32=4>0\) → 2 個交點。
- \(kx+1 = x^2-2x+3 \Rightarrow x^2-(k+2)x+2=0\)。相切條件：判別式 = 0：\((k+2)^2 - 8 = 0 \Rightarrow (k+2)^2 = 8 \Rightarrow k+2 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow k = -2 \pm 2\sqrt{2}\)。
練習三 解
- \(-x+4 = x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-x-3=0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)。然後 \(y = -x+4\)。
- 代入 \(y=2x\) 入圓方程：\(x^2 + (2x)^2 = 20 \Rightarrow 5x^2 = 20 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\)。當 \(x=2, y=4\)；當 \(x=-2, y=-4\)。交點：\((2,4)\) 和 \((-2,-4)\)。
- \(mx+2 = x^2-2x+3 \Rightarrow x^2-(m+2)x+1=0\)。相切：判別式 = 0：\((m+2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (m+2)^2 = 4 \Rightarrow m+2 = \pm 2 \Rightarrow m = 0\) 或 \(m = -4\)。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 跨課題：聯立方程 + 二次方程
温習清單
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代入法： 我能將線性方程代入二次方程。
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解二次方程： 我能解所得的二次方程。
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判別式解讀： 我能用判別式判斷交點數目。
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相切問題： 我能設判別式為零來求未知參數。
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驗算： 我總是代入原方程驗證答案。