平方差及完全平方因式分解技巧

學習目標

• 辨認並運用 平方差 恆等式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) 進行因式分解。
• 辨認並分解完全平方三項式：\(a^2 \pm 2ab+b^2 = (a \pm b)^2\)。
• 將這些恆等式應用於 代數分式、二次方程及化簡 題目。
• 處理 多項式 及 高次冪（例如 \(x^4-16\)）。
• 避免常見錯誤，例如遺漏完全平方的 中間項 或忘記 \(2ab\) 項。

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引言

代數恆等式就像 捷徑 – 它們讓你無需完整乘法即可因式分解或展開式子。 DSE 中最常用的兩個恆等式是：

• 平方差： \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• 完全平方三項式： \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)

這些恆等式在 卷一甲部（化簡、解方程、代數分式）及 卷二 MC（快速因式分解）中經常出現。 熟練掌握它們將為你節省寶貴時間並減少錯誤。

恆等式 1：平方差

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

此恆等式適用於 任何兩項，只要它們是完全平方，不論是數字、變數或表達式。

辨認要點

• 兩項，以減號分隔。
• 每一項都是 完全平方（例如 \(4x^2 = (2x)^2\)，\(9 = 3^2\)）。
• 表達式必須是 最簡形式 – 若有公因式，先提取。

例題 1 – 基本

例題 2 – 含公因式

例題 3 – 高次冪

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恆等式 2：完全平方三項式

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]

這些是三項式（三項），其中首項和末項是完全平方， 而中間項是首項和末項平方根的 兩倍乘積。

辨認要點

• 三項： \( \square + \square + \square \)。
• 首項和末項是 完全平方。
• 中間項 恰好 等於 \(\pm 2 \times \sqrt{\text{首項}} \times \sqrt{\text{末項}}\)。
• 若中間項為負，使用 \((a-b)^2\)；若為正，使用 \((a+b)^2\)。

例題 4 – 基本

例題 5 – 含係數

例題 6 – 含公因式

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綜合運用恆等式

在 DSE 題目中，你可能需要同時運用 多個 恆等式。 一般策略如下：

1. 先提取公因式。
2. 尋找 平方差。
3. 尋找 完全平方三項式。
4. 重複直至完全分解。

例題 7 – 綜合

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DSE 應試技巧 – 卷一及卷二

DSE 式練習題

將下列各表達式完全因式分解。

練習題解

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基礎練習

點擊下列鏈接查閱：
 練習編 - 平方差及完全平方因式分解技巧

温習清單

• 平方差： 我能辨認 \(a^2-b^2\) 並分解為 \((a+b)(a-b)\)。
• 完全平方三項式： 我能識別 \(a^2 \pm 2ab+b^2\) 並寫成 \((a \pm b)^2\)。
• 先提取公因式： 我總是在運用恆等式前先提取 GCF。
• 高次冪： 我能重複運用平方差（例如 \(x^4-1\)）。
• 驗算： 我展開答案以作檢查（心算或筆算）。

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