在 DSE 數學中，聯立線性方程不僅可用代數方法求解，也可用 圖像法。本文解釋如何繪畫兩條直線並找出它們的 交點，該點即為解 （x, y）。你將學習圖像法與代數法的關聯、如何詮釋不同結果（唯一解、無解、無限多解），以及如何在坐標幾何問題中運用此技巧。內容包括逐步例題、應試貼士及練習題。
學習目標
- 將線性方程寫成 \(y = mx + c\) 的形式以便繪圖。
- 在同一坐標平面上繪畫兩條直線。
- 辨識 交點 作為方程組的解。
- 詮釋 無解（平行線）和 無限多解（重疊線）的圖像意義。
- 將圖像解法與代數方法（代入／消元）聯繫起來。
引言
每個二元一次方程（\(x\) 和 \(y\)）都可以在坐標平面上用一條直線表示。當我們有兩個方程時，就有兩條直線。方程組的 解 就是兩條直線的交點，因為該點同時滿足兩個方程。
圖像法不僅是解方程的視覺方式，也將代數與坐標幾何連結起來。在 DSE 卷二，你可能需要從圖形中識別交點；在卷一，則可能需要繪畫直線來解決問題。
圖像解法 – 逐步步驟
步驟
- 如有需要，將每個方程改寫成 \(y = mx + c\)（斜截式）的形式。
- 對每個方程，找出至少兩個點（例如選擇 \(x = 0\) 和 \(x = 1\)，或使用截距）。
- 在同一組坐標軸上繪畫兩條直線。
- 讀出交點的坐標，即為解 \((x, y)\)。
- 將解代入兩個原方程驗算。
應試貼士
繪圖時，選擇容易繪畫的點（例如截距或整數坐標）。為求準確，使用直尺和尖鉛筆。在卷二 MC，你可能會看到已繪好的圖形並要求找出解 – 小心讀取交點坐標。
例題 1 – 唯一解
例題 1
以圖像法解：
\[
\begin{cases}
y = x + 1 \\
y = -x + 3
\end{cases}
\]
解：
兩個方程都已寫成 \(y = mx + c\) 的形式。
對於 \(y = x + 1\)：點 \((0,1)\) 和 \((1,2)\)。
對於 \(y = -x + 3\)：點 \((0,3)\) 和 \((1,2)\)。
繪圖後，它們相交於 \((1,2)\)。
驗算：\(2 = 1 + 1\)（成立），\(2 = -1 + 3\)（成立）。
答案： \(x = 1\)，\(y = 2\)。
例題 2 – 無解（平行線）
例題 2
以圖像法解：
\[
\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = 2x - 3
\end{cases}
\]
解：
兩條線的斜率相同（2）但截距不同，因此它們平行，永不相交。
答案： 無解。
例題 3 – 無限多解（重疊線）
例題 3
以圖像法解：
\[
\begin{cases}
y = -x + 2 \\
2y = -2x + 4
\end{cases}
\]
解：
第二個方程化簡為 \(y = -x + 2\)，與第一個方程完全相同。兩條線重疊（重合）。
答案： 無限多解（直線上的所有點）。
交點的詮釋
兩條直線的交點具有明確的意義：
- 唯一解： 兩條線相交於恰好一個點。該點的坐標同時滿足兩個方程。
- 無解： 兩條線平行且不同（斜率相同，截距不同）。
- 無限多解： 兩條線重合（斜率相同且截距相同，即同一條線）。
這與代數結果一致：方程組有唯一解、無解或無限多解。
常見陷阱
在卷二，你可能會看到一幅圖形，上面有兩條線。小心讀取坐標 – 有時交點不是整數，你可能需要估算。但在 DSE MC 中，交點通常是簡單的坐標。
與坐標幾何的連結
圖像法是坐標幾何的直接應用。你可能會遇到類似以下的問題：
「求直線 \(L_1\) 和 \(L_2\) 的交點坐標」，這正是解聯立方程組。
在 DSE 中，此概念通常在甲部(1) 中測試，你會被要求以代數方法解聯立方程，但圖形可作為驗算或文字題的一部分。理解圖形意義有助於你視覺化解並檢查答案。
DSE 應試技巧 – 卷一及卷二
卷一 甲部(1)
- 若被要求以圖像法解題，在方格紙上準確繪畫直線並讀出交點。
- 清楚寫出交點坐標。
- 務必將解代入原方程驗算。
- 你可能需要自己繪畫直線 – 使用直尺。
卷二 (MC)
- 給定圖形，小心讀取交點坐標。
- 若兩條線平行，方程組無解 – 這是常見的 MC 選項。
- 若兩條線重合，則有無限多解 – 留意相同的方程。
DSE 式練習題
以圖像法解下列各組方程（可畫草圖或描述直線），並指出解的類型。
練習一 – 基本圖像
- \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 2 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = 3x + 2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y = -x + 3 \\ 2y = -2x + 6 \end{cases}\)
練習二 – 由標準形式
- \(\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 6x - 4y = 12 \end{cases}\)
練習三 – 詮釋圖形
- 若兩條直線相交於 \((2, -1)\)，方程組的解是什麼？
- 若兩條直線平行，方程組有多少個解？
- 若兩條直線重合，方程組有多少個解？
練習題解
練習一 解
- 交點：\((1,1)\) → 唯一解。
- 平行線 → 無解。
- 重疊線 → 無限多解（第二個方程為 \(2y = -2x + 6 \Rightarrow y = -x + 3\)）。
練習二 解
- 改寫：\(y = -x + 4\)，\(y = x - 2\)。交點：\((3,1)\)。
- 改寫：\(y = -2x + 5\)，\(y = -x + 3\)。交點：\((2,1)\)。
- 改寫第一個：\(y = \frac{3}{2}x - 3\)。第二個：\(6x - 4y = 12 \Rightarrow -4y = -6x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - 3\)。重疊 → 無限多解。
練習三 解
- \((x, y) = (2, -1)\)。
- 無解。
- 無限多解。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 聯立方程的圖像解法及交點意義
温習清單
-
改寫成 \(y = mx + c\)： 我能整理方程以便繪圖。
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繪點： 我能為每條直線找出至少兩個點。
-
辨識交點： 我能讀出交點坐標。
-
詮釋結果： 我理解唯一解、無解和無限多解的圖像意義。
-
驗算： 我將解代入兩個方程檢查。