聯立方程經常包含分數或小數，這可能令它們看起來很嚇人。 然而，關鍵是先 清除分數或小數，方法是將每個方程乘以分母的 LCM 或 10 的冪次。 這樣便將方程組轉化為整數係數的系統，然後可用代入或消元法求解。 本文提供 逐步策略 處理這類方程，附有例題、常見陷阱及大量 DSE 式練習。
學習目標
- 辨識含有分數或小數的聯立方程。
- 將每個方程乘以分母的 最小公倍數 (LCM) 來清除分數。
- 將每個方程乘以 10 的冪次（例如 10、100）來清除小數。
- 用代入或消元法解所得的整數係數方程組。
- 將解代入原方程驗算。
引言
在 DSE 卷一，你可能會遇到像這樣的聯立方程：
\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\
\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1
\end{cases}
\quad \text{或} \quad
\begin{cases}
0.2x + 0.3y = 1.4 \\
0.5x - 0.1y = 0.7
\end{cases}
\]
這些可以用常見的代入或消元法求解，但分數或小數會使計算變得混亂。
解決方法是透過將每個方程乘以適當的數字，轉化 為整數係數的方程組。
本文將教你清除分數和小數的技巧，附逐步例題及避免常見錯誤的貼士。
技巧 1：清除分數
要清除分數，將每個方程的 每一項 乘以該方程中分母的 LCM。
（注意：如果分母不同，每個方程可以使用不同的乘數。）
要點
將方程的兩邊乘以 LCM。例如，若分母為 2 和 3，LCM 為 6。將每一項乘以 6。
例題 1 – 清除分數
例題 1
解方程組：
\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\
\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1
\end{cases}
\]
解：
方程 1：分母 2 和 3 → LCM = 6。乘以 6：
\(6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{y}{3} = 6 \cdot 5 \Rightarrow 3x + 2y = 30\)。
方程 2：分母 4 和 2 → LCM = 4。乘以 4：
\(4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{y}{2} = 4 \cdot 1 \Rightarrow x - 2y = 4\)。
現在解方程組：
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 30 \\
x - 2y = 4
\end{cases}
\]
相加：\(4x = 34 \Rightarrow x = \frac{17}{2} = 8.5\)。
代入 \(x - 2y = 4\)：\(8.5 - 2y = 4 \Rightarrow -2y = -4.5 \Rightarrow y = 2.25 = \frac{9}{4}\)。
代入原方程驗算：正確。
答案： \(x = \frac{17}{2}, y = \frac{9}{4}\)。
例題 2 – 分母含變數的分數
例題 2
解方程組：
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 7 \\
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1
\end{cases}
\]
解：
這是一個變數出現在分母的方程組。設 \(u = \frac{1}{x}\)、\(v = \frac{1}{y}\)。
則方程組變成：
\[
\begin{cases}
2u + 3v = 7 \\
u - v = 1
\end{cases}
\]
由第二個方程，\(u = v + 1\)。
代入：\(2(v+1) + 3v = 7 \Rightarrow 2v+2+3v=7 \Rightarrow 5v=5 \Rightarrow v=1\)。
則 \(u = 1+1=2\)。
所以 \(\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1\)。
答案： \(x = \frac{1}{2}, y = 1\)。
技巧 2：清除小數
要清除小數，將每個方程的兩邊乘以 10 的冪次（10、100、1000 等），使所有數字變成整數。
選擇能消除該方程中所有小數的最小冪次。
要點
計算方程中小數的最大位數。若最長的小數有 2 位，乘以 100；若有 1 位，乘以 10。
例題 3 – 清除小數
例題 3
解方程組：
\[
\begin{cases}
0.2x + 0.3y = 1.4 \\
0.5x - 0.1y = 0.7
\end{cases}
\]
解：
方程 1：小數 1 位 → 乘以 10：\(2x + 3y = 14\)。
方程 2：小數 1 位 → 乘以 10：\(5x - y = 7\)。
現在解：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 14 \\
5x - y = 7
\end{cases}
\]
由第二個方程，\(y = 5x - 7\)。
代入：\(2x + 3(5x - 7) = 14 \Rightarrow 2x + 15x - 21 = 14 \Rightarrow 17x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{17}\)。
則 \(y = 5(\frac{35}{17}) - 7 = \frac{175}{17} - \frac{119}{17} = \frac{56}{17}\)。
答案： \(x = \frac{35}{17}, y = \frac{56}{17}\)。
一般策略及 DSE 應試技巧
逐步策略
- 若方程含有分數，找出分母的 LCM 並將每一項乘以它。
- 若方程含有小數，乘以 10、100 等，使所有數字變成整數。
- 若變數出現在分母中，使用代換（如設 \(u = 1/x, v = 1/y\)）。
- 用代入或消元法解所得的整數係數方程組。
- 將解代入原方程驗算以避免錯誤。
卷一 甲部(1) 及 (2)
- 展示乘以數值以清除分數或小數的步驟 – 這可獲得步驟分。
- 小心：乘以數值時，要乘以每一項，包括右邊的常數。
- 分母含變數時，記得寫出限制條件（如 \(x \neq 0, y \neq 0\)）（如有需要）。
DSE 式練習題
解下列各組方程，先清除分數或小數。
練習一 – 分數
- \(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4 \\ \frac{x}{6} - \frac{y}{4} = 1 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{2x}{5} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{6} = 1 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{x+1}{2} + \frac{y-1}{3} = 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{y+1}{2} = 0 \end{cases}\)
練習二 – 小數
- \(\begin{cases} 0.3x + 0.2y = 1.6 \\ 0.5x - 0.1y = 0.7 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 0.4x - 0.3y = 0.1 \\ 0.2x + 0.5y = 1.1 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 0.05x + 0.03y = 0.29 \\ 0.02x - 0.07y = -0.03 \end{cases}\)
練習三 – 分母含變數
- \(\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 8 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 9 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 2 \\ \frac{2}{x} + \frac{9}{y} = 5 \end{cases}\)
練習題解
練習一 解
- LCM：6 和 12。第一式乘以 6：\(2x+3y=24\)。第二式乘以 12：\(2x-3y=12\)。相加：\(4x=36 \Rightarrow x=9\)。代入 \(2(9)+3y=24 \Rightarrow 18+3y=24 \Rightarrow y=2\)。
- LCM：15 和 30。第一式乘以 15：\(6x-5y=30\)。第二式乘以 30：\(3x+5y=30\)。相加：\(9x=60 \Rightarrow x=\frac{20}{3}\)。代入 \(6(\frac{20}{3})-5y=30 \Rightarrow 40-5y=30 \Rightarrow y=2\)。
- 第一式乘以 6：\(3(x+1)+2(y-1)=12 \Rightarrow 3x+3+2y-2=12 \Rightarrow 3x+2y=11\)。第二式乘以 6：\(2(x-1)-3(y+1)=0 \Rightarrow 2x-2-3y-3=0 \Rightarrow 2x-3y=5\)。解：第一式乘以 3：\(9x+6y=33\)，第二式乘以 2：\(4x-6y=10\)。相加：\(13x=43 \Rightarrow x=\frac{43}{13}\)。代入 \(2(\frac{43}{13})-3y=5 \Rightarrow \frac{86}{13}-3y=5 \Rightarrow -3y = \frac{65}{13}-\frac{86}{13} = -\frac{21}{13} \Rightarrow y=\frac{7}{13}\)。
練習二 解
- 乘以 10：\(3x+2y=16\)，\(5x-y=7\)。由第二式 \(y=5x-7\)。代入：\(3x+2(5x-7)=16 \Rightarrow 3x+10x-14=16 \Rightarrow 13x=30 \Rightarrow x=\frac{30}{13}\)。\(y=5(\frac{30}{13})-7 = \frac{150}{13}-\frac{91}{13}=\frac{59}{13}\)。
- 乘以 10：\(4x-3y=1\)，\(2x+5y=11\)。第二式乘以 2：\(4x+10y=22\)。相減：\((4x+10y)-(4x-3y)=22-1 \Rightarrow 13y=21 \Rightarrow y=\frac{21}{13}\)。\(4x-3(\frac{21}{13})=1 \Rightarrow 4x = 1+\frac{63}{13} = \frac{76}{13} \Rightarrow x=\frac{19}{13}\)。
- 乘以 100：\(5x+3y=29\)，\(2x-7y=-3\)。解：第一式乘以 7：\(35x+21y=203\)，第二式乘以 3：\(6x-21y=-9\)。相加：\(41x=194 \Rightarrow x=\frac{194}{41}\)。代入 \(5(\frac{194}{41})+3y=29 \Rightarrow \frac{970}{41}+3y = \frac{1189}{41} \Rightarrow 3y = \frac{219}{41} \Rightarrow y=\frac{73}{41}\)。
練習三 解
- 設 \(u=1/x, v=1/y\)。則 \(3u+2v=8\)，\(u-v=1\)。由第二式 \(u=v+1\)。代入：\(3(v+1)+2v=8 \Rightarrow 5v+3=8 \Rightarrow v=1\)。\(u=2\)。所以 \(x=1/2, y=1\)。
- 設 \(u=1/x, v=1/y\)。\(2u+5v=9\)，\(3u-2v=4\)。第一式乘以 2：\(4u+10v=18\)，第二式乘以 5：\(15u-10v=20\)。相加：\(19u=38 \Rightarrow u=2\)。\(2(2)+5v=9 \Rightarrow 4+5v=9 \Rightarrow v=1\)。所以 \(x=1/2, y=1\)。
- 設 \(u=1/x, v=1/y\)。\(4u-3v=2\)，\(2u+9v=5\)。第一式乘以 3：\(12u-9v=6\)，加第二式：\(14u=11 \Rightarrow u=\frac{11}{14}\)。代入 \(2(\frac{11}{14})+9v=5 \Rightarrow \frac{11}{7}+9v=5 \Rightarrow 9v = \frac{35}{7}-\frac{11}{7}=\frac{24}{7} \Rightarrow v=\frac{8}{21}\)。所以 \(x=\frac{14}{11}, y=\frac{21}{8}\)。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 處理含分數或小數的聯立方程
温習清單
-
分數： 我能找出分母的 LCM 並將每一項乘以它來清除分數。
-
小數： 我能乘以 10 的冪次使所有數字變成整數。
-
分母含變數： 我能代換 \(u=1/x, v=1/y\) 來簡化。
-
求解： 我能用代入或消元法解轉化後的系統。
-
驗算： 我總是將解代入原方程檢查。