大部分一次方程只有一個解。但有兩種特殊情況： 恆等式（identical equation） 有 無限多個解， 而 矛盾方程（contradictory equation） 則 無解。 這些在 DSE 卷二 MC 及卷一甲部(1) 偶爾出現。本文教你如何 辨識、求解 及 區分 這些特殊情況，附逐步例題及 DSE 式練習。
學習目標
- 理解解一次方程的三種可能結果：
- 唯一解：\(x = \text{一個數}\)。
- 無限解：\(0 = 0\)（恆等式）。
- 無解：\(0 = k\)（\(k \neq 0\)）（矛盾方程）。
- 透過化簡後兩邊是否相同來辨識恆等式。
- 透過化簡後是否出現假命題來辨識矛盾方程。
- 處理含有參數的方程，判斷使方程成為恆等式或矛盾方程的條件。
- 將這些技巧應用於 DSE 卷二 MC 題，快速作答。
引言
解一次方程時，會出現三種可能結果：
- 唯一解： 例如 \(x = 5\)，這是最常見的情況。
- 無限解（恆等式）： 方程化簡為 \(0 = 0\)，任何 \(x\) 值都滿足。
- 無解（矛盾方程）： 方程化簡為 \(0 = k\)（\(k \neq 0\)），沒有任何 \(x\) 值滿足。
在 DSE 卷二 MC，你可能被要求辨識某方程屬於哪一類。卷一則可能要求你解含有未知係數的方程，並判斷其有無限解或無解的條件。本文將為你準備好應付這兩類題目。
第一部分：恆等式（無限解）
恆等式 對變數的所有值皆成立。化簡後兩邊會得到如 \(0 = 0\) 或 \(5 = 5\) 的真命題。
如何辨識恆等式
化簡後，方程兩邊 完全相同。例如 \(2x + 3 = 2x + 3\) 是恆等式，因為對任何 \(x\) 都成立。
例題 1 – 恆等式
例題 1
解 \(3x - 5 = 3x - 5\)。
解：
兩邊減 \(3x\)：\(-5 = -5\)
此式對所有 \(x\) 值皆成立。
答案： 無限解（所有實數）。
例題 2 – 需化簡的恆等式
例題 2
解 \(2(x + 3) - 4 = 2x + 2\)。
解：
展開 LHS：\(2x + 6 - 4 = 2x + 2 \Rightarrow 2x + 2 = 2x + 2\)
兩邊減 \(2x\)：\(2 = 2\)，恆真。
答案： 無限解。
例題 3 – 參數條件（恆等式）
例題 3
方程 \(5x - k = 5x + 3\) 有無限解，求 \(k\) 的值。
解：
要有無限解，方程必須對所有 \(x\) 成立。
比較係數：\(x\) 項已相等（\(5x = 5x\)）。
常數項需相等：\(-k = 3 \Rightarrow k = -3\)。
答案： \(k = -3\)。
驗算： 當 \(k = -3\)，方程變為 \(5x + 3 = 5x + 3\)，是恆等式。
第二部分：矛盾方程（無解）
矛盾方程 永遠不成立，無論代入甚麼值。化簡後會得到如 \(0 = 5\) 或 \(3 = 7\) 的假命題。
常見陷阱
矛盾方程 不是 難以求解的方程。若得到 \(0 = 5\)，即表示 無解，不要繼續嘗試求解，直接寫「無解」。
例題 4 – 矛盾方程
例題 4
解 \(4x + 7 = 4x - 3\)。
解：
兩邊減 \(4x\)：\(7 = -3\)，這是假命題。
答案： 無解。
例題 5 – 需化簡的矛盾方程
例題 5
解 \(3(2x - 1) = 6x + 5\)。
解：
展開 LHS：\(6x - 3 = 6x + 5\)
兩邊減 \(6x\)：\(-3 = 5\)，假命題。
答案： 無解。
例題 6 – 參數條件（無解）
例題 6
方程 \(2x + 5 = 2x + k\) 無解，求 \(k\) 的值。
解：
要無解，\(x\) 項必須相等，但常數項必須不同。
\(x\) 項已相等（\(2x = 2x\)）。
需要 \(5 \neq k\)，所以任何 \(k \neq 5\) 都會導致無解。
答案： \(k \neq 5\)（例如 \(k = 3\)）。
驗算： 當 \(k = 3\)，方程變為 \(2x + 5 = 2x + 3 \Rightarrow 5 = 3\)，假命題。
三種一次方程的比較
| 類型 | 化簡後形式 | 解的數目 | 例子 |
|---|
| 唯一解 | \(ax = b\)，\(a \neq 0\) | 恰好一個 | \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\) |
| 恆等式 | \(0 = 0\) | 無限多個 | \(2x + 3 = 2x + 3\) |
| 矛盾方程 | \(0 = k\)，\(k \neq 0\) | 零個 | \(2x + 3 = 2x + 5\) |
DSE 應試技巧 – 卷一及卷二
卷一 甲部(1)
- 若得到 \(0 = 0\)，寫「無限解」（或「所有實數」）。
- 若得到 \(0 = k\)（\(k \neq 0\)），寫「無解」。
- 展示清晰的化簡過程 – 化簡後的形式決定了類型。
- 參數題：根據 \(x\) 的係數及常數項設定條件。
卷二 (MC)
- 快速在心中化簡，看看 \(x\) 項是否抵消。
- 若 \(x\) 項抵消且常數相等 → 恆等式（無限解）。
- 若 \(x\) 項抵消且常數不同 → 矛盾方程（無解）。
- 留意「所有實數」和「無解」等選項 – 它們是常見的干擾項。
DSE 式練習題
解下列方程，並判斷其為唯一解、無限解或無解。
練習一 – 辨識類型
- \(5x - 8 = 5x - 8\)
- \(3x + 4 = 3x - 2\)
- \(2(x + 5) = 2x + 10\)
- \(4x - 7 = 4x + 1\)
- \(6x - 3 = 3(2x - 1)\)
練習二 – 參數問題
- 方程 \(2x - k = 2x - 5\) 有無限解，求 \(k\)。
- 方程 \(3x + 4 = 3x + k\) 無解，求一個 \(k\) 值。
- 方程 \(kx + 7 = 5x + 7\) 有唯一解，求 \(k\) 的條件。
- 求 \(k\) 的值，使 \(4x - 2 = 2kx + 6\) 無解。
練習三 – 混合
- \(3(2x + 1) - 6 = 6x - 3\)
- \(5x - 2 = 3x + 8\)
- \(2x + 3 = 2(x + 1) + 1\)
- \(4x - 5 = 2(2x - 3) + 1\)
練習題解
練習一 解
- \(5x - 8 = 5x - 8 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
- \(3x + 4 = 3x - 2 \Rightarrow 4 = -2\) → 無解
- \(2(x + 5) = 2x + 10 \Rightarrow 2x + 10 = 2x + 10 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
- \(4x - 7 = 4x + 1 \Rightarrow -7 = 1\) → 無解
- \(6x - 3 = 3(2x - 1) \Rightarrow 6x - 3 = 6x - 3 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
練習二 解
- 無限解條件：\(-k = -5 \Rightarrow k = 5\)。
- 無解條件：\(4 \neq k\)，任何非 4 的值，例如 \(k = 1\)。
- 唯一解：\(x\) 的係數不能為零。\((k - 5)x = 0\)，所以 \(k \neq 5\)。
- \(4x - 2 = 2kx + 6 \Rightarrow (4 - 2k)x = 8\)。無解需係數為零且常數非零：\(4 - 2k = 0 \Rightarrow k = 2\)，此時 \(0x = 8\) 為假。所以 \(k = 2\)。
練習三 解
- \(3(2x + 1) - 6 = 6x - 3 \Rightarrow 6x + 3 - 6 = 6x - 3 \Rightarrow 6x - 3 = 6x - 3 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
- \(5x - 2 = 3x + 8 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\) → 唯一解
- \(2x + 3 = 2(x + 1) + 1 \Rightarrow 2x + 3 = 2x + 2 + 1 \Rightarrow 2x + 3 = 2x + 3 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
- \(4x - 5 = 2(2x - 3) + 1 \Rightarrow 4x - 5 = 4x - 6 + 1 \Rightarrow 4x - 5 = 4x - 5 \Rightarrow 0 = 0\) → 無限解
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 「恆等式」與「矛盾」的一次方程
温習清單
- 唯一解： 我能判斷 \(ax = b\)（\(a \neq 0\)）只有一個答案。
- 無限解： 化簡後得 \(0 = 0\)，我會寫「所有實數」。
- 無解： 化簡後得 \(0 = k\)（\(k \neq 0\)），我會寫「無解」。
- 參數問題： 我能找出使方程為恆等式或矛盾方程的 \(k\) 條件。
- MC 速度： 我能快速檢查 \(x\) 項是否抵消來判斷類型。