並非所有聯立線性方程組都有唯一解。有些 無解（平行線）， 有些則有 無限多解（重疊線）。 在 DSE 卷二 MC 及卷一甲部(1)，你可能需要判斷解的類型，或找出使方程組屬於某種情況的參數值。 本文教你 係數比法 快速判斷解的類型，附清晰例題、常見陷阱及大量練習。
學習目標
- 理解兩個線性方程組的三種可能結果。
- 運用 係數比法 將方程組分類為唯一解、無解或無限多解。
- 在不求解的情況下，從給定方程判斷解的數目。
- 找出使方程組無解或無限多解的參數值（如 \(k\)）。
- 將這些技巧應用於 DSE 風格的多項選擇題及長題目。
引言
考慮一個由兩個線性方程組成的方程組：
\[
\begin{cases}
a_1 x + b_1 y = c_1 \\
a_2 x + b_2 y = c_2
\end{cases}
\]
解這類方程組時，有三種可能結果：
- 唯一解： 兩條直線相交於一點。
- 無解： 兩條直線平行且不同。
- 無限多解： 兩條直線重合（同一條線）。
與其求解方程組，你可透過比較係數的比來判斷情況：
\[
\frac{a_1}{a_2}, \quad \frac{b_1}{b_2}, \quad \frac{c_1}{c_2}.
\]
這方法在 MC 題中特別有用，能快速得出答案。
係數比法
對於方程組 \(a_1 x + b_1 y = c_1\) 和 \(a_2 x + b_2 y = c_2\)（假設 \(a_2, b_2, c_2 \neq 0\)）：
- 唯一解： \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)。
- 無解： \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)。
- 無限多解： \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)。
若有任何分母為零，則需分開處理（例如若 \(a_2=0\)，則用不同方式比較），但在 DSE 中，分母通常非零。
記憶口訣
可這樣記：若 \(x\) 係數比等於 \(y\) 係數比，則兩線平行（或重合）。若不相等，則相交於一點。然後檢查常數比，以區分平行（不等）和重合（相等）。
例題（DSE 風格）
例題 1 – 唯一解
例題 1
判斷方程組的解的數目：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x + 6y = 10
\end{cases}
\]
解：
比率：\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)。
所有比率相等 → 無限多解（重合線）。
答案： 無限多解。
例題 2 – 無解
例題 2
判斷方程組的解的數目：
\[
\begin{cases}
3x - 2y = 7 \\
6x - 4y = 9
\end{cases}
\]
解：
比率：\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{7}{9} \neq \frac{1}{2}\)。
\(x\)-比 = \(y\)-比 ≠ 常數比 → 無解。
答案： 無解。
例題 3 – 參數求無解
例題 3
求 \(k\) 的值使方程組無解：
\[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
2x + ky = 5
\end{cases}
\]
解：
無解條件：\(\frac{1}{2} = \frac{2}{k} \neq \frac{3}{5}\)。
由 \(\frac{1}{2} = \frac{2}{k}\) 得 \(k = 4\)。
檢查常數比：\(\frac{3}{5} \neq \frac{1}{2}\)（成立）。
答案： \(k = 4\)。
例題 4 – 參數求無限多解
例題 4
求 \(k\) 使方程組有無限多解：
\[
\begin{cases}
2x - 3y = 4 \\
kx - 6y = 8
\end{cases}
\]
解：
無限多解條件：\(\frac{2}{k} = \frac{-3}{-6} = \frac{4}{8}\)。
\(\frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)。
所以 \(\frac{2}{k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 4\)。
答案： \(k = 4\)。
DSE 應試技巧 – 卷一及卷二
卷一 甲部(1)
- 若被要求判斷解的數目，比較比率並清楚寫出結論。
- 參數問題：設定適當的比率方程並求解。
- 展示步驟：寫出 \(\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2}\) 並比較。
卷二 (MC)
- 快速心算比率以排除選項。
- 若比率不相等，答案為「唯一解」– 無需檢查常數。
- 若比率相等，檢查常數比以區分「無解」和「無限多解」。
DSE 式練習題
判斷各方程組的解的數目，或按要求求參數。
練習一 – 辨識類型
- \(\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 5x - 2y = 8 \\ 10x - 4y = 15 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 6x + 2y = 14 \end{cases}\)
練習二 – 參數問題
- 求 \(k\) 使方程組無解：\(\begin{cases} 2x + ky = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}\)
- 求 \(k\) 使方程組有無限多解：\(\begin{cases} kx + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases}\)
- 求 \(k\) 使方程組有唯一解：\(\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ kx + 4y = 8 \end{cases}\)
練習三 – 混合
- \(\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 2x - 4y = 6 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ 8x + 6y = 13 \end{cases}\)
- 求 \(k\) 使 \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = k \end{cases}\) 無解。
練習題解
練習一 解
- \(\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) → 無限多解。
- \(\frac{5}{10} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{8}{15} \neq \frac{1}{2}\) → 無解。
- \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \frac{7}{14}\) → 無限多解。
練習二 解
- 無解條件：\(\frac{2}{4} = \frac{k}{6} \neq \frac{5}{10}\)。\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，所以 \(\frac{k}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow k=3\)。檢查常數：\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) 相等，所以實際上是無限多解，不是無解。因此沒有 \(k\) 能使它無解。（因為常數比也相等）所以答案：不存在這樣的 \(k\)。
- 無限多解：\(\frac{k}{4} = \frac{3}{6} = \frac{6}{12}\)。\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)，所以 \(\frac{k}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow k=2\)。
- 唯一解：\(\frac{3}{k} \neq \frac{2}{4}\)。\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，所以 \(\frac{3}{k} \neq \frac{1}{2} \Rightarrow k \neq 6\)。
練習三 解
- \(\frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) → 無限多解。
- \(\frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{7}{13} \neq \frac{1}{2}\) → 無解。
- \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = k \end{cases}\)。無解條件：\(\frac{2}{6} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\)，且 \(\frac{3}{k} \neq \frac{1}{3}\)，即 \(k \neq 9\)。若 \(k=9\) 則無限多解。因此 \(k \neq 9\) 時無解。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 聯立方程中的「無解」與「無限多解」
温習清單
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唯一解： 我能識別 \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) 的情況。
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無解： 我知道 \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)。
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無限多解： 我能認出三個比率都相等。
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參數問題： 我能建立方程來求特定情況下的 \(k\)。
-
考試準備： 我能在卷二 MC 中快速應用此方法。