需要聯立方程的文字題是 DSE 卷一甲部的常見題型。本文聚焦三種經典類型：年齡問題、 數量問題（例如硬幣、門票、物品）及 混合問題（例如溶液、合金、混合物）。 你將學習 系統化方法 將文字轉化為方程，選擇最有效的方法（代入或消元），並驗算答案。 內容包括逐步例題、應試技巧及練習題。
學習目標
- 仔細閱讀文字題以辨識未知數。
- 將年齡關係、數量／成本關係及混合比例轉化為聯立方程。
- 使用代入法或消元法解方程組。
- 在題目情境中詮釋答案。
- 將答案代回原文字題驗算。
引言
很多 DSE 考生覺得文字題困難，因為它們涉及 將英文轉化為代數。
關鍵是辨識 未知數、找出 關係，並建立兩個方程。
本文將涵蓋三種常見類型：
- 年齡問題：現在、過去或將來的年齡關係。
- 數量問題：兩種不同價格或價值的物品（如硬幣、門票、水果）。
- 混合問題：混合兩種或多種不同濃度或比例的物质。
每種類型我們都使用 逐步策略：
- 定義變數（選用 \(x\) 和 \(y\)）。
- 根據給定資訊建立兩個方程。
- 解方程組。
- 驗算並詮釋答案。
第一部分：年齡問題
年齡問題涉及比較兩個或多個人在不同時間的年齡。關鍵是對過去或未來的情境，對兩個年齡加上或減去相同的年數。
年齡問題貼士
以變數表示現在的年齡。「\(n\) 年後」則兩個年齡都加 \(n\)；「\(n\) 年前」則兩個年齡都減 \(n\)。
例題 1 – 年齡問題
例題 1
父親的年齡是兒子的三倍。10 年後，父親的年齡將是兒子的兩倍。求他們現時的年齡。
解：
設兒子的現時年齡為 \(x\)，父親的現時年齡為 \(y\)。
方程 1（現在）：\(y = 3x\)。
10 年後：兒子 \(x+10\)，父親 \(y+10\)。
方程 2：\(y + 10 = 2(x + 10)\)。
代入 \(y = 3x\)：\(3x + 10 = 2x + 20 \Rightarrow x = 10\)。
然後 \(y = 3(10) = 30\)。
答案：兒子 10 歲，父親 30 歲。
第二部分：數量問題
數量問題涉及兩種不同價格、價值或特性的物品。兩個方程通常是：
數量問題貼士
設 \(x\) 為一種的數量，\(y\) 為另一種的數量。價值方程通常是：\( \text{單價}_1 \times x + \text{單價}_2 \times y = \text{總值} \)。
例題 2 – 數量問題
例題 2
商店售賣筆每支 $8，筆記本每本 $5。顧客買了 12 件物品，共付 $84。顧客買了多少支筆和多少本筆記本？
解：
設 \(x\) = 筆的數量，\(y\) = 筆記本的數量。
方程 1（數量）：\(x + y = 12\)。
方程 2（費用）：\(8x + 5y = 84\)。
由方程 1：\(y = 12 - x\)。
代入：\(8x + 5(12 - x) = 84 \Rightarrow 8x + 60 - 5x = 84 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8\)。
然後 \(y = 12 - 8 = 4\)。
答案：8 支筆和 4 本筆記本。
第三部分：混合問題
混合問題涉及混合兩種或多種物質以獲得特定濃度或比例的混合物。兩個方程是：
- 數量方程：混合物的總量。
- 含量方程：某種特定物質（如酸、鹽、酒精）的總量。
混合問題貼士
物質的含量 = 濃度 × 溶液體積（或量）。例如，20% 的酸溶液 \(x\) 升含有 \(0.2x\) 升酸。
例題 3 – 混合問題
例題 3
化學家有兩種酸溶液：20% 和 50% 濃度。要混合成 30 升 40% 的溶液，各需多少升？
解：
設 \(x\) = 20% 溶液的升數，\(y\) = 50% 溶液的升數。
方程 1（總體積）：\(x + y = 30\)。
方程 2（酸含量）：\(0.2x + 0.5y = 0.4(30) = 12\)。
由方程 1：\(y = 30 - x\)。
代入：\(0.2x + 0.5(30 - x) = 12 \Rightarrow 0.2x + 15 - 0.5x = 12 \Rightarrow -0.3x = -3 \Rightarrow x = 10\)。
然後 \(y = 30 - 10 = 20\)。
答案：10 升 20% 和 20 升 50%。
一般策略及 DSE 應試技巧
卷一 甲部(1) 及 (2)
- 清晰定義變數 – 這可獲得步驟分。
- 明確寫出方程並標記 (1) 和 (2)。
- 選擇較簡單的方法（代入或消元）來解方程組。
- 將答案代入原文字題驗算。
- 混合問題要小心百分比 – 轉為小數（例如 20% = 0.2）。
卷二 (MC)
- 快速建立方程並測試選項。
- 留意容易混淆的措辭 – 「多於」和「少於」可能會相反。
- 年齡問題記住要對兩個年齡加上或減去相同的年數。
DSE 式練習題
為每個文字題建立並解聯立方程。
練習一 – 年齡
- 母親的年齡是女兒的 4 倍。8 年後，母親的年齡是女兒的 3 倍。求她們現時的年齡。
- 約翰比瑪麗大 5 歲。3 年後，他們年齡之和為 39。求他們現時的年齡。
- 一位男士的年齡是兒子的兩倍。10 年前，男士的年齡是兒子的 4 倍。求他們現時的年齡。
練習二 – 數量
- 一部售票機接受 $2 和 $5 硬幣。共有 30 枚硬幣，總值 $102。各有多少枚？
- 商店售賣蘋果每個 $3，橙每個 $2。顧客買了 15 個水果，共付 $38。買了多少個蘋果？
- 劇院有 200 個座位，成人票 $50，兒童票 $30。若總收入為 $8400，售出多少張成人票？
練習三 – 混合
- 一種溶液含 30% 酸。需加入多少純酸到 20 升中，使其成為 50% 溶液？
- 化學家混合 10% 和 40% 鹽溶液，以獲得 50 升 25% 溶液。各需多少升？
- 咖啡店混合兩種咖啡：A 型 $60/kg，B 型 $80/kg。要製作 100 kg 價值 $70/kg 的混合咖啡，各需多少 kg？
練習題解
練習一 解
- 設女兒 = \(x\)，母親 = \(4x\)。8 年後：\(4x+8 = 3(x+8) \Rightarrow 4x+8=3x+24 \Rightarrow x=16\)。女兒 16，母親 64。
- 設瑪麗 = \(x\)，約翰 = \(x+5\)。3 年後：\((x+3)+(x+5+3)=39 \Rightarrow 2x+11=39 \Rightarrow x=14\)。瑪麗 14，約翰 19。
- 設兒子 = \(x\)，男士 = \(2x\)。10 年前：\(2x-10 = 4(x-10) \Rightarrow 2x-10=4x-40 \Rightarrow 2x=30 \Rightarrow x=15\)。兒子 15，男士 30。
練習二 解
- 設 $2 硬幣 = \(x\)，$5 硬幣 = \(y\)。\(x+y=30\)，\(2x+5y=102\)。解：\(y=30-x\)，\(2x+5(30-x)=102 \Rightarrow 2x+150-5x=102 \Rightarrow -3x=-48 \Rightarrow x=16\)，\(y=14\)。
- 設蘋果 = \(a\)，橙 = \(15-a\)。\(3a+2(15-a)=38 \Rightarrow 3a+30-2a=38 \Rightarrow a=8\)。
- 設成人 = \(a\)，兒童 = \(200-a\)。\(50a+30(200-a)=8400 \Rightarrow 50a+6000-30a=8400 \Rightarrow 20a=2400 \Rightarrow a=120\)。
練習三 解
- 設 \(x\) = 加入的純酸升數。原有酸量 = \(0.3 \times 20 = 6\) L。新總酸 = \(6+x\)，新體積 = \(20+x\)。\(\frac{6+x}{20+x} = 0.5 \Rightarrow 6+x = 10 + 0.5x \Rightarrow 0.5x = 4 \Rightarrow x = 8\)。
- 設 \(x\) = 10% 升數，\(y\) = 40% 升數。\(x+y=50\)，\(0.1x+0.4y=12.5\)。解：\(y=50-x\)，\(0.1x+0.4(50-x)=12.5 \Rightarrow 0.1x+20-0.4x=12.5 \Rightarrow -0.3x=-7.5 \Rightarrow x=25\)，\(y=25\)。
- 設 \(x\) = A 型 kg，\(y\) = B 型 kg。\(x+y=100\)，\(60x+80y=7000\)。解：\(y=100-x\)，\(60x+80(100-x)=7000 \Rightarrow 60x+8000-80x=7000 \Rightarrow -20x=-1000 \Rightarrow x=50\)，\(y=50\)。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 聯立方程文字題：年齡、數量及混合問題
温習清單
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定義變數：我能辨識未知數並設定變數。
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建立方程：我能將年齡、數量及混合關係轉化為方程。
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求解：我使用代入或消元法解方程組。
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驗算：我在題目情境中驗證答案。
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考試準備：我能自信地處理年齡、數量及混合問題。