本文涵蓋 解聯立方程 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（1）及（2）經常出現的課題，佔 4–6 分。你將學習 代入法、消元法 及 圖像法 解二元一次方程組。你亦會學習如何將 文字題 轉化為聯立方程， 以及如何識別 特殊情況（唯一解、無解及無限解）。 文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題及 10 題功課（附詳細題解）。 這些是 必備技能，在 DSE 試卷中經常出現。
完成本文後，你應能夠：
聯立方程 每年 都在 DSE 卷一甲部（1）及（2）出現。題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在進階課題中出現。及早掌握！
聯立方程的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（1）及（2），每題 3–4 分，測試你的代數運算能力。
代入法 是先解其中一條方程，得出一個變量以另一個變量表示， 然後代入另一條方程。
解：\( \begin{cases} y = 2x + 3 \\ 3x + 2y = 15 \end{cases} \)
將 \( y = 2x + 3 \) 代入 \( 3x + 2y = 15 \)：
\( 3x + 2(2x + 3) = 15 \)
\( 3x + 4x + 6 = 15 \)
\( 7x = 9 \)
\( x = \frac{9}{7} \)
代回：\( y = 2(\frac{9}{7}) + 3 = \frac{18}{7} + \frac{21}{7} = \frac{39}{7} \)
答案：\( x = \frac{9}{7}, y = \frac{39}{7} \)
消元法 是將兩條方程相加或相減，以消去其中一個變量。
解：\( \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases} \)
將兩條方程相加，消去 \( y \)：
\( (2x + 3y) + (4x - 3y) = 12 + 6 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3 \)
代回：\( 2(3) + 3y = 12 \) → \( 6 + 3y = 12 \) → \( 3y = 6 \) → \( y = 2 \)
答案：\( x = 3, y = 2 \)
消元法：使其中一個變量的係數相等且相反，然後相加消去！
圖像法 是將兩條方程在同一坐標平面上繪畫。 兩條直線的交點就是方程組的解。
以圖像法解：\( \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} \)
在同一坐標平面上繪畫兩條直線：
直線 1：\( y = 2x + 1 \)（斜率 = 2，y 截距 = 1）
直線 2：\( y = -x + 4 \)（斜率 = -1，y 截距 = 4）
兩條直線相交於 \( (1, 3) \)。
答案：\( x = 1, y = 3 \)
使用圖像法時，需要 準確繪圖——即使微小的繪圖誤差也可能導致錯誤答案。此方法在 DSE 中較少出現，但可能以短題形式考核。
大部分方程組都有 唯一解——兩條直線相交於一點。
\( y = 2x + 1 \) 和 \( y = -x + 4 \) → 相交於 \( (1, 3) \)
若兩條直線 平行（斜率相同，y 截距不同），則 無解。
\( y = 2x + 1 \) 和 \( y = 2x + 3 \) → 平行 → 無解
若兩條直線 重合（同一條直線），則 無限解。
\( y = 2x + 1 \) 和 \( 2y = 4x + 2 \) → 同一條直線 → 無限解
解文字題時，將情境 轉化為聯立方程組， 然後用代入法或消元法求解。
題目：兩個數之和為 20，差為 4。求這兩個數。
設兩個數為 \( x \) 和 \( y \)。
\( x + y = 20 \) （方程 1）
\( x - y = 4 \) （方程 2）
相加：\( 2x = 24 \) → \( x = 12 \)
代回：\( 12 + y = 20 \) → \( y = 8 \)
答案：兩個數為 \( 12 \) 和 \( 8 \)。
題目：解 \( \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + y = 8 \end{cases} \)。
由方程 1：\( x = 2y + 5 \)
代入方程 2：\( 3(2y + 5) + y = 8 \)
\( 6y + 15 + y = 8 \)
\( 7y = -7 \)
\( y = -1 \)
代回：\( x = 2(-1) + 5 = 3 \)
答案：\( x = 3, y = -1 \)
題目：解 \( \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - 4y = 0 \end{cases} \)。
相加：\( 5x = 10 \) → \( x = 2 \)
代回：\( 3(2) + 4y = 10 \) → \( 6 + 4y = 10 \) → \( 4y = 4 \) → \( y = 1 \)
答案：\( x = 2, y = 1 \)
題目：解 \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} \)。
將方程 1 乘以 2：\( 4x + 2y = 10 \)
相減：\( (4x + 2y) - (4x + 2y) = 10 - 8 \)
\( 0 = 2 \)（假）
答案：無解
題目 1 MC
解 \( \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \)。
A. \( (3, 7) \) B. \( (7, 3) \) C. \( (6, 4) \) D. \( (4, 6) \)
題目 2 MC
解 \( \begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \)。
A. \( (1, 6) \) B. \( (2, 4) \) C. \( (3, 2) \) D. \( (4, 0) \)
題目 3 短答
用代入法解 \( \begin{cases} 3x - y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \)。
題目 4 短答
兩個數之和為 32，差為 8。求這兩個數。
題目 5 MC
以下哪個方程組 無限解？
A. \( y = 2x + 1, y = 2x + 3 \) B. \( y = 2x + 1, y = -x + 4 \) C. \( y = 2x + 1, 2y = 4x + 2 \) D. \( y = 2x + 1, y = 3x + 1 \)