含有代數分式的一次方程在 DSE 卷一甲部(1) 經常出現。關鍵技巧是將兩邊乘以分母的 最小公倍數 (LCM) 來 清除分母。 這會將分式方程轉化為簡單的一次方程，然後可用移項及化簡求解。 本文涵蓋 逐步方法、常見陷阱（例如忘記將每一項乘以 LCM）， 以及大量 DSE 風格的例題。你亦會學習如何處理分母含有變數的方程，以及如何驗算答案。
含有代數分式的一次方程 是指未知數出現在一個或多個分數的分子中，或分數的分母為代數式的方程。 在 DSE 卷一甲部(1)，你常被要求解像這樣的方程： \[ \frac{x}{2} - \frac{1}{3} = \frac{x}{4} + \frac{5}{6}, \quad \frac{2x-1}{3} = \frac{x+2}{2}, \quad \text{或} \quad \frac{3}{x} + 1 = \frac{5}{2x}. \] 分數的存在令方程看似複雜，但解法很直接： 將兩邊乘以分母的 LCM 以消除分數，然後解所得的一次方程。
本文將以清晰步驟、例題及大量練習引導你掌握此技巧。
將方程兩邊的每一項都乘以所有分母的 LCM。 這能一步消除所有分數。
切勿忘記將每一項都乘以 LCM – 包括沒有分數的項。 例如，在 \(\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{3}\) 中，\(3\) 也必須乘以 LCM。 另外，分配 LCM 時要小心負號。
解 \(\displaystyle \frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{6} + 2\)。
解：
分母為 3 和 6，LCM = 6。
將每一項乘以 6：
\(6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1 = 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot 2\)
\(2x - 6 = x + 12\)
移項：\(2x - x = 12 + 6\)
\(x = 18\)
答案： \(x = 18\)。
解 \(\displaystyle \frac{2x+1}{3} = \frac{x-2}{2}\)。
解：
分母為 3 和 2，LCM = 6。
將兩邊乘以 6：
\(6 \cdot \frac{2x+1}{3} = 6 \cdot \frac{x-2}{2}\)
\(2(2x+1) = 3(x-2)\)
展開：\(4x + 2 = 3x - 6\)
移項：\(4x - 3x = -6 - 2\)
\(x = -8\)
答案： \(x = -8\)。
解 \(\displaystyle \frac{3}{x} + 1 = \frac{5}{2x}\)。
解：
分母為 \(x\) 和 \(2x\)，LCM = \(2x\)（假設 \(x \neq 0\)）。
將每一項乘以 \(2x\)：
\(2x \cdot \frac{3}{x} + 2x \cdot 1 = 2x \cdot \frac{5}{2x}\)
\(6 + 2x = 5\)
移項：\(2x = 5 - 6 = -1\)
\(x = -\frac{1}{2}\)
答案： \(x = -\frac{1}{2}\)。
解 \(\displaystyle \frac{2x-1}{4} - \frac{x+3}{3} = \frac{1}{2}\)。
解：
分母為 4、3、2，LCM = 12。
將每一項乘以 12：
\(12 \cdot \frac{2x-1}{4} - 12 \cdot \frac{x+3}{3} = 12 \cdot \frac{1}{2}\)
\(3(2x-1) - 4(x+3) = 6\)
展開：\(6x - 3 - 4x - 12 = 6\)
化簡：\(2x - 15 = 6\)
移項：\(2x = 21\)
\(x = \frac{21}{2}\)
答案： \(x = \frac{21}{2}\)。
解下列各方程，完整解題步驟在後。