聯立方程是一組含有兩個未知數（通常為 x 和 y）的方程，且同時成立。在 DSE 卷一甲部(1) 及(2)，你經常被要求解這類方程組。本文涵蓋 兩種主要方法：代入法 與 消元法。你將學會每種方法的 逐步過程、何時使用哪種方法，以及如何避免常見錯誤。包含例題、應試技巧及練習題，助你掌握這項核心技能。
聯立線性方程組 由兩個含有兩個未知數（通常為 \(x\) 和 \(y\)）的方程組成。解是有序對 \((x, y)\)，它同時滿足兩個方程。
在 DSE 卷一甲部(1) 及(2)，你會遇到類似以下的問題： \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \] 或 \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases} \] 解這些方程組，你可以使用 代入法 或 消元法。兩者皆有效；選擇取決於方程式的結構。
代入法是將其中一個方程解出一個變數（用另一個變數表示），然後將該表達式代入第二個方程。
當其中一個變數的係數為 1 或 -1，使其易於分離時，代入法特別有用。對於文字題或方程不是標準形式時，代入法也是首選。
用代入法解方程組： \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
解：
由 \(x - y = 2\)，得 \(x = y + 2\)。
代入 \(2x + y = 7\)：\(2(y + 2) + y = 7\)
\(2y + 4 + y = 7 \Rightarrow 3y + 4 = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1\)。
然後 \(x = y + 2 = 1 + 2 = 3\)。
驗算：\(2(3) + 1 = 7\)，\(3 - 1 = 2\)。正確。
答案： \(x = 3\)，\(y = 1\)。
消元法（又稱加減法）是將方程相加或相減以消去一個變數，得到一個一元一次方程。
當兩個方程都是標準形式且係數可處理時，消元法通常較快。當某個變數的係數已經相等，或可透過簡單乘法使其相等時，消元法效果很好。
用消元法解方程組： \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
解：
我們可以消去 \(y\)，將第二個方程乘以 2：\(2x - 2y = 2\)。
現在將方程相加：
\(3x + 2y = 12\)
\(2x - 2y = 2\)
\(5x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{5}\)。
代入 \(x - y = 1\)：\(\frac{14}{5} - y = 1 \Rightarrow y = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}\)。
驗算：\(3(\frac{14}{5}) + 2(\frac{9}{5}) = \frac{42}{5} + \frac{18}{5} = \frac{60}{5} = 12\)。正確。
答案： \(x = \frac{14}{5}\)，\(y = \frac{9}{5}\)。
用消元法解方程組： \[ \begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 4x - y = 10 \end{cases} \]
解：
將第二個方程從第一個方程相減以消去 \(x\)：
\((4x + 3y) - (4x - y) = 18 - 10\)
\(4y = 8 \Rightarrow y = 2\)。
代入 \(4x - y = 10\)：\(4x - 2 = 10 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\)。
驗算：\(4(3) + 3(2) = 12 + 6 = 18\)，\(4(3) - 2 = 10\)。正確。
答案： \(x = 3\)，\(y = 2\)。
| 情況 | 建議方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 某個變數的係數為 1 或 -1 | 代入法 | 容易分離該變數。 |
| 某個變數的係數相等或容易化為相等 | 消元法 | 快速消去一個變數。 |
| 方程不是標準形式 | 代入法 | 較易整理和代入。 |
| 文字題 | 兩者皆可，但代入法通常更直觀 | 可直接翻譯關係。 |
用指定方法解下列方程組，完整解題步驟在後。
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練習編 - 聯立方程的兩種方法：代入法與消元法