本文涵蓋進階 圓的性質，包括 切線 及三角形的 四心——這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的高頻課題， 佔 4–7 分。你將學習 切線定理 （切線垂直於半徑、由外點引兩切線長度相等、交錯弓形定理）， 以及三角形的 外心、內心、重心及垂心 的定義與性質， 並應用於圓幾何問題。文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題。 這些是 高階技能，能幫助你奪取佳績。
題目 1 MC
在圖中，\( PA \) 及 \( PB \) 為圓的切線。若 \( \angle AOB = 120^\circ \)，求 \( \angle APB \)。
A. \( 60^\circ \) B. \( 90^\circ \) C. \( 120^\circ \) D. \( 30^\circ \)
題目 2 MC
哪個心將中線以 \( 2:1 \) 的比例分割？
A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心
題目 3 短答
圓在 \( A \) 點的切線與弦 \( AB \) 的夾角為 \( 35^\circ \)。求交錯弓形上的圓周角。
題目 4 短答
三角形 \( ABC \) 的頂點為 \( (0,0) \)、\( (6,0) \)、\( (0,8) \)。求外心。
題目 5 MC
三角形的內心永遠在：
A. 三角形外部 B. 三角形內部 C. 斜邊上 D. 重心位置
題目 6 短答
在三角形 \( ABC \) 中，\( \angle A = 50^\circ \)，\( \angle B = 60^\circ \)。設 \( I \) 為內心，求 \( \angle BIC \)。
題目 7 MC
哪個心與三角形的三個頂點等距？
A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心
題目 8 短答
由圓外一點 \( P \) 引兩條切線 \( PA \) 及 \( PB \)。若 \( PA = 15 \) cm，求 \( PB \)。
題目 9 短答
三角形 \( ABC \) 的內切圓與 \( AB \) 相切於 \( D \)，與 \( BC \) 相切於 \( E \)，與 \( CA \) 相切於 \( F \)。若 \( AD = 5 \)，\( BE = 7 \)，\( CF = 3 \)，求三角形 \( ABC \) 的周界。
題目 10 短答
證明由圓外一點引向圓的兩條切線長度相等。
運用交錯弓形定理時，確保正確識別「交錯弓形」——即弦對面弧上的角。同時，切線與弦的夾角可在弦的兩側。