因式定理 及 餘式定理 是處理多項式的強效工具。 它們讓你能無需長除法即可找出因式及餘數。在 DSE 中，這些定理出現於 卷一甲部(2) 及乙部， 常見於因式分解、解方程或求未知係數的題目。 本文涵蓋這兩個定理的 陳述、證明及應用，附逐步例題及 DSE 式練習。
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因式定理及餘式定理 – 入門
基礎練習
回答所有問題。
作業題目
- 求 \(P(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 3\) 除以 \(x-2\) 的餘數。
- 求 \(P(x) = 2x^4 - x^3 + 3x - 7\) 除以 \(x+1\) 的餘數。
- 若 \(P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + 3\) 除以 \(x-1\) 時餘數為 5，求 \(a\)。
- 證明 \((x-1)\) 為 \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 的因式。
- 完全分解 \(P(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27\)。
- 若 \((x+3)\) 為 \(P(x) = x^3 + kx^2 - 13x - 12\) 的因式，求 \(k\)。
- 求 \(P(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 3\) 除以 \(2x-1\) 的餘數。（提示：除式為 \(2x-1\)，因式定理變體）
- 當 \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4\) 除以 \(x-1\) 時餘數為 2；除以 \(x+1\) 時餘數為 0。求 \(a\) 和 \(b\)。
- 多項式 \(P(x) = 3x^3 + ax^2 + bx - 10\) 有因式 \((x-2)\)，且除以 \(x+1\) 時餘數為 5。求 \(a\) 和 \(b\)。
- 完全分解 \(P(x) = x^4 - 5x^2 + 4\)（提示：因式定理或視為 \(x^2\) 的二次式）。
基礎練習 答案
1. \(-7\)
2. \(-7\)
3. \(a=3\)
4. \(P(1)=0\)
5. \((x-3)(x+3)(x-3) = (x-3)^2(x+3)\)
6. \(k=2\)
7. 餘數 \(= -\frac{11}{4}\)（因為 \(P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{11}{4}\)）
8. \(a=2,\ b=-1\)
9. \(a=1,\ b=-7\)
10. \((x-2)(x+2)(x-1)(x+1)\)