本文涵蓋 一元二次方程的根的性質—— 這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的進階課題，佔 4–7 分。 你將學習 兩根之和與兩根之積、如何 由給定根建構二次方程、如何運用根的特性解 參數問題， 以及如何運用判別式、兩根之和及兩根之積 分析根的符號。 文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題。 這些是 高階技能，能幫助你在 DSE 考試中取得佳績。
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一元二次方程｜根的性質（兩根之和、兩根之積及判別式）
題目 1 MC
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 + 8x - 3 = 0 \) 的根，求 \( \alpha + \beta \)。
A. \( -8 \) B. \( -3 \) C. \( 3 \) D. \( 8 \)
題目 2 MC
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( 4x^2 - 3x + 2 = 0 \) 的根，求 \( \alpha\beta \)。
A. \( \frac{1}{2} \) B. \( -\frac{3}{4} \) C. \( \frac{3}{4} \) D. \( -\frac{1}{2} \)
題目 3 短答
建構一個以 \( 7 \) 及 \( -4 \) 為根的二次方程。
題目 4 短答
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 - 5x + 3 = 0 \) 的根，求 \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \)。
題目 5 MC
\( x^2 + kx + 10 = 0 \) 的兩根為 \( 2 \) 及 \( 5 \)。求 \( k \)。
A. \( -7 \) B. \( -3 \) C. \( 3 \) D. \( 7 \)
題目 6 短答
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \) 的根，求 \( \alpha^2 + \beta^2 \)。
題目 7 MC
關於 \( x^2 + x - 6 = 0 \) 的根，以下哪項正確？
A. 兩根均為正數 B. 兩根均為負數 C. 一正一負 D. 沒有實根
題目 8 短答
若 \( x^2 - 10x + k = 0 \) 的其中一個根是 3，求另一個根及 \( k \) 的值。
題目 9 短答
判斷 \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) 的根的符號。
題目 10 短答
若 \( \alpha \) 及 \( \beta \) 是 \( x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的根，求 \( \alpha^3 + \beta^3 \)。
使用 \( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \) 時，記住先將 \( \alpha + \beta \) 平方，然後才減去 \( 2\alpha\beta \)。不要弄錯次序！