因式定理 及 餘式定理 是處理多項式的強效工具。 它們讓你能無需長除法即可找出因式及餘數。在 DSE 中，這些定理出現於 卷一甲部(2) 及乙部， 常見於因式分解、解方程或求未知係數的題目。 本文涵蓋這兩個定理的 陳述、證明及應用，附逐步例題及 DSE 式練習。
學習目標
- 陳述及運用 餘式定理：多項式 \(P(x)\) 除以 \(x-a\) 的餘數為 \(P(a)\)。
- 陳述及運用 因式定理：\(x-a\) 為 \(P(x)\) 的因式若且唯若 \(P(a)=0\)。
- 運用因式定理 分解三次多項式 及更高次多項式。
- 利用餘式定理求 未知係數。
- 透過因式定理因式分解來解多項式方程。
引言
進行多項式除法時，你可以使用長除法或綜合除法。然而，有些時候你只需要知道 餘數 或某個給定的一次式是否為 因式。
餘式定理和因式定理讓你能夠無需進行完整除法即可快速找到答案。
在 DSE 中，這些定理在 卷一甲部(2)（例如求餘數、分解三次式）和偶爾在 乙部（例如解多項式方程或求未知常數）中測試。
掌握它們將為你節省時間並減少錯誤。
餘式定理
餘式定理陳述
若多項式 \(P(x)\) 除以 \((x-a)\)，則餘數為 \(P(a)\)。
換句話說，你只需將 \(x=a\) 代入多項式即可得到餘數，無須長除法。
例題 1 – 求餘數
例題 1
求 \(P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7\) 除以 \(x-2\) 的餘數。
解：
根據餘式定理，餘數 \(= P(2)\)。
\[
P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 7 = 16 - 20 + 6 - 7 = -5.
\]
答案： 餘數 = \(-5\)。
例題 2 – 求未知係數
例題 2
當 \(P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 2\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 5。求 \(a\)。
解：
根據餘式定理，餘數 \(= P(-1) = 5\)。
\[
P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -1 + a + 4 + 2 = a + 5.
\]
所以 \(a + 5 = 5 \Rightarrow a = 0\)。
答案： \(a = 0\)。
因式定理
因式定理陳述
一次式 \((x-a)\) 為多項式 \(P(x)\) 的因式 若且唯若 \(P(a)=0\)。
這是餘式定理的特殊情況：若餘數為零，則除式為因式。
例題 3 – 判斷一次式是否為因式
例題 3
判斷 \((x-3)\) 是否為 \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) 的因式。
解：
根據因式定理，\((x-3)\) 為因式若且唯若 \(P(3)=0\)。
\[
P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0.
\]
因為 \(P(3)=0\)，所以 \((x-3)\) 是因式。
答案： 是的，它是因式。
例題 4 – 利用因式定理分解三次式
例題 4
完全分解 \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)。
解：
首先，測試小整數找一個因式：
\(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\)，所以 \((x-1)\) 是因式。
現在用長除法或綜合除法將 \(P(x)\) 除以 \((x-1)\)：
\[
P(x) = (x-1)(x^2 - x - 6) = (x-1)(x-3)(x+2).
\]
（因式分解二次式得 \((x-3)(x+2)\)。）
答案： \((x-1)(x-3)(x+2)\)。
綜合運用兩個定理
在 DSE 題目中，你經常需要同時運用兩個定理。例如，你可能會得到一個帶有未知係數的多項式，同時知道 \((x-a)\) 是因式（因此 \(P(a)=0\)）且除以另一個一次式的餘數為某值（因此 \(P(b)=r\)）。這會給你一個方程組來求解未知數。
例題 5 – 綜合
例題 5
多項式 \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 2\) 有因式 \((x-1)\)，且除以 \(x+1\) 時餘數為 4。求 \(a\) 和 \(b\)。
解：
由於 \((x-1)\) 是因式，\(P(1)=0\)：
\[
1 + a + b - 2 = 0 \Rightarrow a + b = 1. \quad (1)
\]
除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(P(-1)=4\)：
\[
-1 + a - b - 2 = 4 \Rightarrow a - b = 7. \quad (2)
\]
解 (1) 和 (2)：相加得 \(2a = 8 \Rightarrow a=4\)，則 \(b = 1 - 4 = -3\)。
答案： \(a=4,\ b=-3\)。
DSE 應試技巧 – 卷一甲部(2) 及乙部
關鍵策略
- 求餘數題目：直接代入 – 無需長除法。
- 分解三次式：利用因式定理 測試小整數因式（通常為 \(\pm1, \pm2, \pm3\)）。
- 若找到一個因式，進行 多項式除法 得到商式（二次式），再分解該二次式。
- 涉及未知係數時，根據給定條件建立 方程 並聯立求解。
- 記住：若 \((ax-b)\) 是因式，則 \(P(\frac{b}{a})=0\) – 處理非首一除式時要小心。
DSE 式練習題
試做以下題目，完整解題步驟在後。
練習一 – 餘式定理
- 求 \(P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5\) 除以 \(x-1\) 的餘數。
- 求 \(P(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1\) 除以 \(x+2\) 的餘數。
- 若 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 - 3x + 1\) 除以 \(x-2\) 時餘數為 7，求 \(a\)。
練習二 – 因式定理
- 證明 \((x+2)\) 為 \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\) 的因式。
- 完全分解 \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)。
- 若 \((x-3)\) 為 \(P(x) = x^3 + kx^2 - 5x - 6\) 的因式，求 \(k\)。
練習三 – 綜合
- 當 \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 3\) 除以 \(x-1\) 時餘數為 2；除以 \(x+2\) 時餘數為 -1。求 \(a\) 和 \(b\)。
- 多項式 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 6\) 有因式 \((x-2)\)，且除以 \(x+1\) 時餘數為 12。求 \(a\) 和 \(b\)。
練習題解
練習一 解
- \(P(1) = 3 - 2 + 1 - 5 = -3\)
- \(P(-2) = 16 - 12 - 4 + 1 = 1\)
- \(P(2) = 16 + 4a - 6 + 1 = 4a + 11 = 7 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1\)
練習二 解
- \(P(-2) = -8 + 12 + 8 - 12 = 0\)，所以 \((x+2)\) 是因式。
- 測試 \(x=1\)：\(1-4+1+6=4\neq0\)；\(x=2\)：\(8-16+2+6=0\)，所以 \((x-2)\) 是因式。除法：\(P(x) = (x-2)(x^2-2x-3) = (x-2)(x-3)(x+1)\)。
- \(P(3) = 27 + 9k - 15 - 6 = 9k + 6 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}\)。
練習三 解
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\(P(1)=1+a+b-3 = a+b-2 = 2 \Rightarrow a+b=4\)。
\(P(-2) = -8 + 4a - 2b - 3 = 4a - 2b - 11 = -1 \Rightarrow 4a - 2b = 10 \Rightarrow 2a - b = 5\)。
相加：\(3a = 9 \Rightarrow a=3\)，則 \(b=1\)。
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\(P(2)=16+4a+2b+6 = 4a+2b+22 = 0 \Rightarrow 2a+b = -11\)。
\(P(-1) = -2 + a - b + 6 = a - b + 4 = 12 \Rightarrow a - b = 8\)。
相加：\(3a = -3 \Rightarrow a = -1\)，則 \(b = -9\)。
基礎練習
點擊下列鏈接查閱：
練習編 - 因式定理及餘式定理 – 入門
温習清單
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餘式定理： 我能透過直接代入 \(P(a)\) 求餘數。
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因式定理： 我能透過檢查 \(P(a)=0\) 判斷一次式是否為因式。
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分解三次式： 我能測試整數找一個因式，再除法得二次式並分解。
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未知係數： 我能根據給定的餘數／因式條件建立聯立方程求解。
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非首一除式： 我記得對於 \(ax-b\) 類因式使用 \(P(\frac{b}{a})\)。