本文涵蓋 圓的性質 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的課題，佔 4–7 分。 你將學習圓的基本元素的 定義（圓心、半徑、弦、弧、扇形）、 圓心角、弧與弦的關係、 圓周角定理、圓內接四邊形 的性質， 以及如何運用這些定理進行幾何證明。文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、 練習題。這些是 必備技能， 在 DSE 試卷中經常出現。
完成本文後，你應能夠：
圓的幾何 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出現。題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在進階幾何課題中出現。
圓的性質的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（2），每題 3–4 分；在乙部則以 較長證明題 形式出現，每題 5–7 分。
圓 是與一個固定點（稱為 圓心）距離相等的點的集合。 主要元素包括：
在同圓或等圓中：
題目：在圓中，圓心角 \( \angle AOB = 60^\circ \)。求弧 \( AB \) 的度數。
弧的度數等於其圓心角的度數。
答案：弧 \( AB = 60^\circ \)。
圓周角定理 指出：
題目：在圖中，\( \angle ABC = 40^\circ \)。求弧 \( AC \) 的度數。
由圓周角定理：\( \angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{弧 } AC \)。
所以 \( 40^\circ = \frac{1}{2} \times \text{弧 } AC \) → \( \text{弧 } AC = 80^\circ \)。
答案：弧 \( AC = 80^\circ \)。
定理：半圓上的圓周角是 直角（90°）。 即若 \( AB \) 為直徑，\( C \) 在圓上，則 \( \angle ACB = 90^\circ \)。
題目：\( AB \) 為圓的直徑，點 \( C \) 在圓上。若 \( \angle CAB = 35^\circ \)，求 \( \angle ABC \)。
因 \( AB \) 為直徑，\( \angle ACB = 90^\circ \)。
在三角形 \( ABC \) 中，\( 35^\circ + 90^\circ + \angle ABC = 180^\circ \)。
\( \angle ABC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)。
答案：\( \angle ABC = 55^\circ \)。
圓內接四邊形 是四個頂點都在圓上的四邊形。 主要性質：
題目：在圓內接四邊形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 70^\circ \)，\( \angle C = 110^\circ \)。這是否可能？解釋。
在圓內接四邊形中，對角互補。
\( \angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \) ✓
答案：可能，因為對角之和為 180°。
題目：在圖中，\( O \) 為圓心。\( \angle AOB = 100^\circ \)。求 \( \angle ACB \)。
\( \angle ACB \) 是圓周角，對弧 \( AB \)。
圓心角 \( \angle AOB = 100^\circ \) 對同一弧。
由圓周角定理：\( \angle ACB = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \)。
答案：\( 50^\circ \)。
題目：在圓內接四邊形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 3x \)，\( \angle C = 2x + 20^\circ \)。求 \( x \)。
圓內接四邊形中，對角互補。
\( 3x + (2x + 20^\circ) = 180^\circ \)
\( 5x + 20^\circ = 180^\circ \)
\( 5x = 160^\circ \) → \( x = 32^\circ \)。
答案：\( x = 32^\circ \)。
題目：證明若 \( ABCD \) 是圓內接四邊形，則 \( \angle ABD = \angle ACD \)。
在圓內接四邊形中，四個頂點都在同一圓上。
\( \angle ABD \) 和 \( \angle ACD \) 都是圓周角，對 同一弧 \( AD \)。
同弧上的圓周角相等。
答案：\( \angle ABD = \angle ACD \)（證明完畢）。
題目 1 MC
在圓中，圓心角 \( \angle AOB = 80^\circ \)。弧 \( AB \) 的度數是：
A. \( 40^\circ \) B. \( 80^\circ \) C. \( 160^\circ \) D. \( 280^\circ \)
題目 2 MC
在圖中，\( O \) 為圓心。\( \angle ABC = 35^\circ \)。求 \( \angle AOC \)。
A. \( 35^\circ \) B. \( 70^\circ \) C. \( 17.5^\circ \) D. \( 105^\circ \)
題目 3 短答
在圓內接四邊形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 85^\circ \)。求 \( \angle C \)。
題目 4 短答
\( AB \) 為直徑，\( C \) 在圓上。若 \( \angle BAC = 28^\circ \)，求 \( \angle ABC \)。
題目 5 MC
以下哪項 不是 圓內接四邊形的性質？
A. 對角互補
B. 外角等於內對角
C. 所有角相等
D. 頂點在圓上