本文涵蓋進階 圓的性質，包括 切線 及三角形的 四心——這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的高頻課題， 佔 4–7 分。你將學習 切線定理 （切線垂直於半徑、由外點引兩切線長度相等、交錯弓形定理）， 以及三角形的 外心、內心、重心及垂心 的定義與性質， 並應用於圓幾何問題。文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題。 這些是 高階技能，能幫助你奪取佳績。
完成本文後，你應能夠：
切線及三角形的四心 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出現。題目可能要求你：
這些是高階技能，能幫助你在考試中奪取高分。
切線的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（2），每題 3–4 分；在乙部則以 較長證明題 形式出現，每題 5–7 分。四心常與圓定理結合考核。
圓的切線在切點處 垂直 於半徑。
若 \( OT \) 為半徑，\( PT \) 為切線且切點為 \( T \)，則 \( OT \perp PT \)。
由圓外一點引兩條切線，其長度 相等。
若 \( PA \) 及 \( PB \) 為由 \( P \) 引向圓的兩條切線，則 \( PA = PB \)。
切線與弦的夾角等於 交錯弓形 上的圓周角（即弦在圓周另一側所對的角）。
若 \( PT \) 為切線，切點為 \( T \)，\( TA \) 為弦，則 \( \angle PTA = \angle TBA \)，其中 \( B \) 為圓上交錯弓形上的任意點。
交錯弓形定理：切線與弦的夾角等於對面弧上的圓周角（「交錯」的弓形）。
題目：在圖中，\( PT \) 為圓在 \( T \) 的切線，\( OT = 5 \) cm，\( OP = 13 \) cm。求 \( PT \) 的長度。
由切線與半徑垂直定理，\( OT \perp PT \)，所以三角形 \( OTP \) 為直角三角形。
運用畢氏定理：\( OP^2 = OT^2 + PT^2 \) → \( 13^2 = 5^2 + PT^2 \) → \( PT^2 = 169 - 25 = 144 \) → \( PT = 12 \) cm。
答案：\( 12 \) cm。
題目：在圖中，\( PA \) 為切線，切點為 \( A \)。\( \angle PAB = 40^\circ \)。求 \( \angle ACB \)。
由交錯弓形定理，\( \angle PAB = \angle ACB \)（交錯弓形上的圓周角）。
因此 \( \angle ACB = 40^\circ \)。
答案：\( 40^\circ \)。
三角形有四種重要的心，各有不同的定義及幾何意義：
| 名稱 | 定義 | 相關圓 |
|---|---|---|
| 外心 | 三邊垂直平分線的交點 | 外接圓（通過三個頂點） |
| 內心 | 三條角平分線的交點 | 內切圓（與三邊相切） |
| 重心 | 三條中線的交點 | — |
| 垂心 | 三條高線的交點 | — |
切勿混淆外心（與頂點等距）與內心（與邊等距）。外心是 外接圓 的圓心，內心是 內切圓 的圓心。
題目：三角形 \( ABC \) 的頂點為 \( A(2,3) \)、\( B(4,7) \)、\( C(6,3) \)。求外心。
外心是垂直平分線的交點。由於 \( A \) 和 \( C \) 的 y 坐標相同，\( AC \) 的垂直平分線為 \( x = \frac{2+6}{2}=4 \)。
\( AB \) 的中點為 \( (3,5) \)，\( AB \) 的斜率為 \( \frac{7-3}{4-2} = 2 \)，垂直平分線斜率為 \( -\frac{1}{2} \)。方程：\( y-5 = -\frac{1}{2}(x-3) \)。當 \( x=4 \)，\( y-5 = -\frac{1}{2}(1) = -0.5 \) → \( y=4.5 \)。所以外心為 \( (4, 4.5) \)。
答案：\( (4, 4.5) \)。
題目：在三角形 \( ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 70^\circ \)。設 \( I \) 為內心，求 \( \angle AIC \)。
內心是角平分線的交點。在三角形 \( AIC \) 中，\( \angle IAC = \frac{1}{2}\angle A = 30^\circ \)，\( \angle ICA = \frac{1}{2}\angle C \)。先求 \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ \)，所以 \( \angle ICA = 25^\circ \)。
因此 \( \angle AIC = 180^\circ - 30^\circ - 25^\circ = 125^\circ \)。
答案：\( 125^\circ \)。
題目：三角形 \( ABC \) 的頂點為 \( (1,2) \)、\( (3,6) \)、\( (5,4) \)。求重心。
重心是三個頂點坐標的平均值：\( \left( \frac{1+3+5}{3}, \frac{2+6+4}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \frac{12}{3} \right) = (3,4) \)。
答案：\( (3,4) \)。
在 DSE 題目中，切線與四心經常結合出現。例如，內心是內切圓的圓心，內切圓與三邊相切；外心是外接圓的圓心，外接圓經過三個頂點。
題目：在三角形 \( ABC \) 中，內切圓與 \( AB \) 相切於 \( D \)。已知 \( AD = 4 \)，\( DB = 6 \)，\( AC = 8 \)，求 \( BC \) 的長度。
由外點引切線長度相等：從 \( A \) 引的切線相等，所以 \( AD = AE = 4 \)（其中 \( E \) 為 \( AC \) 上的切點）。因 \( AC = 8 \)，\( EC = 8 - 4 = 4 \)。
從 \( B \) 引的切線相等：\( BD = BF = 6 \)（其中 \( F \) 為 \( BC \) 上的切點）。
從 \( C \) 引的切線相等：\( CE = CF = 4 \)。
因此 \( BC = BF + FC = 6 + 4 = 10 \)。
答案：\( 10 \)。
題目 1 MC
在圖中，\( PA \) 及 \( PB \) 為圓的切線，切點分別為 \( A \) 及 \( B \)。若 \( \angle APB = 70^\circ \)，求 \( \angle AOB \)（\( O \) 為圓心）。
A. \( 70^\circ \) B. \( 110^\circ \) C. \( 140^\circ \) D. \( 55^\circ \)
題目 2 MC
哪個心與三角形的三邊等距？
A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心
題目 3 短答
在圖中，\( PT \) 為切線，切點為 \( T \)。\( \angle PTQ = 50^\circ \)。求 \( \angle PRQ \)。
題目 4 短答
三角形 \( ABC \) 的頂點為 \( (0,0) \)、\( (4,0) \)、\( (0,3) \)。求外心。
題目 5 MC
三角形 \( ABC \) 的內切圓與 \( BC \) 相切於 \( D \)。若 \( BD = 3 \)，\( DC = 5 \)，\( AB = 7 \)，求 \( AC \)。
A. \( 9 \) B. \( 8 \) C. \( 7 \) D. \( 6 \)