本文涵蓋 弧長、扇形面積及弧度制 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的課題，佔 4–6 分。 你將學習 弧度制 的定義、如何在 度與弧度之間轉換、 弧長 及 扇形面積 在度制及弧度制下的公式、 如何計算 弓形面積，以及如何解 組合圖形 問題。 文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、練習題。 這些是 必備技能，在 DSE 試卷中經常出現。
完成本文後，你應能夠：
弧長、扇形面積及弧度制 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出現。題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在三角學及三維度量中出現。
弧長及扇形面積的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（2），每題 3–4 分；在乙部則以 較長題目 形式出現，每題 5–6 分。
弧度 是圓心角所對的弧長等於半徑時的角度。
題目：將 \( 60^\circ \) 轉換為弧度。
\( 60^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) 弧度。
答案：\( \frac{\pi}{3} \)。
半徑 \( r \)、圓心角 \( \theta \) 的圓的 弧長 \( s \) 為：
其中 \( \theta \) 以度為單位。
其中 \( \theta \) 以弧度為單位。
弧度制弧長：\( s = r\theta \)——簡單優雅！當角度以弧度表示時就用這個公式。
題目：圓的半徑為 6 cm，圓心角為 \( 45^\circ \)。求弧長。
用度制公式：\( s = \frac{45}{360} \times 2\pi(6) = \frac{1}{8} \times 12\pi = \frac{3\pi}{2} \) cm。
答案：\( \frac{3\pi}{2} \) cm。
半徑 \( r \)、圓心角 \( \theta \) 的 扇形面積 \( A \) 為：
弧度制扇形面積：\( A = \frac{1}{2} r^2 \theta \)——記住：一半的 \( r^2 \theta \)。
題目：圓的半徑為 10 cm，圓心角為 \( \frac{\pi}{3} \) 弧度。求扇形面積。
用弧度制公式：\( A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{50\pi}{3} \) cm²。
答案：\( \frac{50\pi}{3} \) cm²。
弓形 是由弦及其所對的弧圍成的區域。 弓形面積為：
其中 \( \theta \) 以弧度為單位。
題目：半徑為 4 cm 的圓中，圓心角為 \( \frac{\pi}{2} \) 弧度的弦所截出的弓形面積。
\( A_{\text{弓形}} = \frac{1}{2} (4)^2 \left( \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 16 \times \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 8 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 4\pi - 8 \) cm²。
答案：\( 4\pi - 8 \) cm²。
DSE 題目經常結合弧、扇形、三角形及其他圖形。解題步驟：
題目：一個圖形由半徑 8 cm、圓心角 \( 60^\circ \) 的扇形加上一個寬 8 cm、高 5 cm 的長方形組成。求總面積。
扇形面積（度制）：\( A_{\text{扇形}} = \frac{60}{360} \times \pi \times 8^2 = \frac{1}{6} \times 64\pi = \frac{32\pi}{3} \)。
長方形面積：\( A_{\text{長方形}} = 8 \times 5 = 40 \)。
總面積 = \( \frac{32\pi}{3} + 40 \)。
答案：\( \frac{32\pi}{3} + 40 \) cm²。
題目：圓的半徑為 5 cm，圓心角為 \( \frac{2\pi}{3} \) 弧度。求弧長。
\( s = r\theta = 5 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \) cm。
答案：\( \frac{10\pi}{3} \) cm。
題目：扇形的半徑為 12 cm，圓心角為 \( 30^\circ \)。求面積。
\( A = \frac{30}{360} \times \pi \times 12^2 = \frac{1}{12} \times 144\pi = 12\pi \) cm²。
答案：\( 12\pi \) cm²。
題目：半徑為 6 cm 的圓中，圓心角為 \( 60^\circ \) 的弦所截出的弓形面積。（用弧度制）
轉換為弧度：\( 60^\circ = \frac{\pi}{3} \)。
\( A_{\text{弓形}} = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \left( \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \times 36 \times \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 18 \times \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 6\pi - 9\sqrt{3} \) cm²。
答案：\( 6\pi - 9\sqrt{3} \) cm²。
題目 1 MC
將 \( 120^\circ \) 轉換為弧度。
A. \( \frac{2\pi}{3} \) B. \( \frac{3\pi}{2} \) C. \( \frac{4\pi}{3} \) D. \( \frac{\pi}{3} \)
題目 2 MC
圓的半徑為 7 cm，圓心角為 \( \frac{\pi}{4} \) 弧度。弧長為：
A. \( \frac{7\pi}{4} \) cm B. \( \frac{7\pi}{2} \) cm C. \( 28\pi \) cm D. \( \frac{7\pi}{8} \) cm
題目 3 短答
半徑為 9 cm，圓心角為 \( 40^\circ \) 的扇形面積。
題目 4 短答
半徑為 5 cm，圓心角為 \( \frac{\pi}{2} \) 弧度的弓形面積。
題目 5 MC
一個圖形由半徑 4 cm 的半圓及寬 8 cm、高 3 cm 的長方形組成。總面積是：
A. \( 24 + 8\pi \) B. \( 24 + 4\pi \) C. \( 24 + 16\pi \) D. \( 12 + 4\pi \)
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練習編 - 求積法｜弧長、扇形面積及弧度制