本文涵蓋 立體表面積及體積 的核心技巧—— 這是 DSE 卷一甲部（2）及乙部經常出現的課題，佔 4–6 分。 你將學習常見立體（棱柱、圓柱、圓錐、球體、棱錐）的 體積 及 表面積 公式、 相似立體 的邊長、面積及體積比例，以及如何解 組合立體 的問題。文章包括逐步例題、DSE 應試技巧、 練習題。這些是 必備技能， 在 DSE 試卷中經常出現。
完成本文後，你應能夠：
三維度量 每年 都在 DSE 卷一甲部（2）及乙部出現。題目可能要求你：
這些都是必備技能，亦會在容量、包裝及建築等現實情境中出現。
三維度量的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（2），每題 3–4 分；在乙部則以 較長題目 形式出現，每題 5–6 分。
圓錐及棱錐的體積是對應棱柱／圓柱的 三分之一。記住：\( V_{\text{圓錐}} = \frac{1}{3} V_{\text{圓柱}} \)。
若兩個立體 相似，其對應邊長成比例。 設線性比例因子為 \( k \)（對應邊長之比），則：
這表示若尺寸加倍（比例因子為 2），表面積變為 4 倍，體積變為 8 倍。
題目：兩個相似圓柱的高分別為 5 cm 及 15 cm。若較小圓柱的體積為 200 cm³，求較大圓柱的體積。
比例因子 \( k = \frac{15}{5} = 3 \)。
體積比 = \( k^3 = 27 \)。
較大體積 = \( 200 \times 27 = 5400 \) cm³。
答案：5400 cm³。
組合立體 由兩個或以上簡單立體組成。 求總體積或總表面積的方法：
題目：一個立體由半徑 4 cm、高 6 cm 的圓柱，頂部加上相同半徑的半球體組成。求總體積。
圓柱體積 = \( \pi (4)^2 (6) = 96\pi \) cm³。
半球體體積 = \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{2}{3}\pi (64) = \frac{128\pi}{3} \) cm³。
總體積 = \( 96\pi + \frac{128\pi}{3} = \frac{288\pi + 128\pi}{3} = \frac{416\pi}{3} \) cm³。
答案：\( \frac{416\pi}{3} \) cm³。
題目：圓錐的半徑為 6 cm，高為 8 cm。求體積。
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = 96\pi \) cm³。
答案：\( 96\pi \) cm³。
題目：求半徑為 7 cm 的球體表面積。
\( A = 4\pi r^2 = 4\pi (7)^2 = 4\pi \times 49 = 196\pi \) cm²。
答案：\( 196\pi \) cm²。
題目：兩個相似棱錐的體積分別為 54 cm³ 及 432 cm³。求對應高的比。
體積比 = \( \frac{432}{54} = 8 \)。
由於體積比 = \( k^3 \)，\( k = \sqrt[3]{8} = 2 \)。
所以高的比為 2:1。
答案：2:1。
題目 1 MC
半徑 3 cm、高 10 cm 的圓柱體積為：
A. \( 30\pi \) B. \( 60\pi \) C. \( 90\pi \) D. \( 120\pi \)
題目 2 MC
球體的表面積為 \( 144\pi \) cm²。求半徑。
A. \( 4 \) cm B. \( 6 \) cm C. \( 8 \) cm D. \( 12 \) cm
題目 3 短答
圓錐的半徑為 5 cm，斜高為 13 cm。求總表面積。
題目 4 短答
兩個相似圓柱的高分別為 4 cm 及 10 cm。若較小圓柱的體積為 80 cm³，求較大圓柱的體積。
題目 5 MC
一個立體由相同半徑的半球體置於圓柱上方組成。若半徑為 3 cm，圓柱高為 5 cm，總體積為：
A. \( 45\pi + 18\pi \) B. \( 45\pi + 9\pi \) C. \( 45\pi + 12\pi \) D. \( 45\pi + 6\pi \)