本文介紹實數系統的基礎，重點區分 有理數 與 無理數 —— 這是 DSE 卷一甲部（1）經常出現的基本概念。你將學習兩者的定義、小數展開規律、 如何在 DSE 題型中分類數字，以及影響數的「有理性」的關鍵運算。 文章包括例題、應試技巧、練習題及完整題解的 10 題功課。 掌握這課題可確保你穩取 DSE 試卷中 allocated 的 2–4 分。
完成本文後，你應能夠：
近似值及誤差的題目 每年 都在 DSE 卷一甲部（1）出現。題目可能要求你：
只要掌握規則，這些都是穩陣分數——切勿失分！
近似值及誤差的題目通常以 短答題 形式出現在甲部（1），每題 2–3 分，測試你的基本運算能力。
將數字四捨五入至指定的 小數位，即保留小數點後若干位數字。
| 數字 | 四捨五入至 1 d.p. | 四捨五入至 2 d.p. | 四捨五入至 3 d.p. |
|---|---|---|---|
| \( 3.14159 \) | \( 3.1 \) | \( 3.14 \) | \( 3.142 \) |
| \( 2.71828 \) | \( 2.7 \) | \( 2.72 \) | \( 2.718 \) |
| \( 0.9999 \) | \( 1.0 \) | \( 1.00 \) | \( 1.000 \) |
將 \( 0.9999 \) 四捨五入至 1 d.p. 時，答案是 1.0，而不是 1。小數點後的零必須保留，以顯示精確度。
有效數字 計算所有具有意義的數字，從 第一個非零數字 開始。
| 數字 | 有效數字數目 | 四捨五入至 2 s.f. | 四捨五入至 3 s.f. |
|---|---|---|---|
| \( 45.678 \) | 5 | \( 46 \) | \( 45.7 \) |
| \( 0.00345 \) | 3（\( 3,4,5 \)） | \( 0.0035 \) | \( 0.00345 \) |
| \( 1500 \) | 2（\( 1,5 \)） | \( 1500 \) | \( 1500 \) |
| \( 0.05060 \) | 4（\( 5,0,6,0 \)） | \( 0.051 \) | \( 0.0506 \) |
有效數字：「從第一個非零數字開始數，然後繼續數！」
科學記號 以以下形式表達數字：
其中 \( 1 \le A < 10 \)，\( n \) 是整數。
| 普通形式 | 科學記號 | 原因 |
|---|---|---|
| \( 3000 \) | \( 3 \times 10^3 \) | 小數點向左移 3 位 |
| \( 0.00056 \) | \( 5.6 \times 10^{-4} \) | 小數點向右移 4 位 |
| \( 6.02 \times 10^{23} \) | 已在科學記號中 | — |
| \( 0.00123 \) | \( 1.23 \times 10^{-3} \) | 小數點向右移 3 位 |
乘法：
除法：
加減法： 先轉換為相同的 10 的冪次。
\( (3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5) = 6 \times 10^9 \)
\( (6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3) = 3 \times 10^5 \)
\( (2.5 \times 10^4) + (3.0 \times 10^4) = 5.5 \times 10^4 \)
當量度值為近似值時，我們可以計算誤差。
$$ \text{絕對誤差} = |\text{準確值} - \text{近似值}| $$
$$ \text{相對誤差} = \frac{\text{絕對誤差}}{|\text{準確值}|} $$
$$ \text{百分誤差} = \text{相對誤差} \times 100\% $$
DSE 題目通常會給你 準確值 和 近似值，並要求你計算百分誤差。計算相對誤差時，謹記使用 準確值 作為分母。
題目：某量度的準確值為 50.0 cm。學生量度為 49.5 cm。求絕對誤差、相對誤差及百分誤差。
絕對誤差 = \( |50.0 - 49.5| = 0.5 \) cm
相對誤差 = \( \frac{0.5}{50.0} = 0.01 \)
百分誤差 = \( 0.01 \times 100\% = 1\% \)
題目：將 \( 0.004567 \) 四捨五入至 2 位有效數字。
首兩個有效數字是 \( 4 \) 和 \( 5 \)。
下一個數字是 \( 6 \)（≥ 5），所以進位。
答案：\( 0.0046 \)
題目：將 \( 0.00000045 \) 寫成科學記號。
將小數點向右移 7 位：
\( 0.00000045 = 4.5 \times 10^{-7} \)
題目：某量的準確值為 250。計算機顯示 252。求百分誤差。
絕對誤差 = \( |250 - 252| = 2 \)
相對誤差 = \( \frac{2}{250} = 0.008 \)
百分誤差 = \( 0.008 \times 100\% = 0.8\% \)
題目 1 MC
將 \( 0.009876 \) 四捨五入至 3 位有效數字。
A. \( 0.00988 \) B. \( 0.00987 \) C. \( 0.0099 \) D. \( 0.01 \)
題目 2 MC
\( 3.2 \times 10^{-4} \) 的普通形式是什麼？
A. \( 0.00032 \) B. \( 0.0032 \) C. \( 0.032 \) D. \( 0.32 \)
題目 3 短答
計算 \( (4 \times 10^3) \times (5 \times 10^6) \)，並以科學記號表達答案。
題目 4 短答
某量度的準確值為 80.0 m，學生估算為 79.2 m。求百分誤差。
題目 5 MC
以下哪項 不是 有效的科學記號？
A. \( 5.6 \times 10^3 \) B. \( 0.56 \times 10^4 \) C. \( 7.2 \times 10^{-2} \) D. \( 9.0 \times 10^0 \)
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練習編 - 近似值與誤差全攻略｜科學記號＋有效數字