數系全面拆解：有理數與無理數之分

學習目標

完成本文後，你應能夠：

• 定義 有理數及無理數，運用 \( \frac{p}{q} \) 測試。
• 分類 任何給定數字為有理數或無理數，運用小數展開規律。
• 識別 隱藏的有理數（例如：平方數的平方根）—— 表面看似無理但實為有理。
• 判斷 有理數與無理數進行運算（加、減、乘、除）後結果的性質。
• 應用 以上概念於 DSE 多項選擇題及短答題。
• 轉換 循環小數為分數，運用標準方法。

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1. 引言

每年 DSE 數學卷一甲部（1）都會測試你 分類數字 為有理數或無理數的能力。 這個看似簡單的課題，其實是 穩袋 2–4 分 的關鍵——你不能失去這些分數。

2. 什麼是有理數？

一個數是 有理數，若它能寫成 兩個整數的比：

其中：

• \( p \) 和 \( q \) 是整數
• \( q \neq 0 \)

有理數的主要性質

性質	例子
有限小數	\( \frac{3}{4} = 0.75 \)
循環小數	\( \frac{10}{3} = 3.333\ldots \) 或 \( 3.\overline{3} \)
整數是有理數	\( 5 = \frac{5}{1} \)

常見的有理數例子：

• \( -3 \)（因為 \( -3 = \frac{-3}{1} \)）
• \( 3.1 \)（有限小數）
• \( 4.\overline{5} \) 或 \( 4.555\ldots \)（循環小數）
• \( \frac{7}{4} \)

3. 什麼是無理數？

一個數是 無理數，若它 不能 寫成兩個整數 \( \frac{p}{q} \) 的比。

無理數的主要性質

性質	例子
無限不循環小數	\( 0.101101110\ldots \)
非平方數的平方根	\( \sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots \)
特殊常數	\( \pi \approx 3.14159265\ldots \)

常見的無理數例子：

• \( \sqrt{7} \)
• \( 4\pi \)
• \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)

4. 實數系統

所有有理數和無理數合稱為 實數。

小數展開規律（DSE 必考）

類型	小數展開	例子
有理數	有限小數 或 無限循環小數	\( 0.75 \)， \( 0.\overline{3} \)
無理數	無限不循環小數	\( 1.41421356\ldots \)

5. DSE 應試技巧

技巧一：識別「偽裝」的無理數

有些數看似無理，但實際上是 有理數：

表達式	實際值	分類
\( \sqrt{16} \)	\( 4 = \frac{4}{1} \)	有理數
\( \sqrt[3]{8} \)	\( 2 = \frac{2}{1} \)	有理數
\( \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} \)	\( \frac{3}{2} \)	有理數

技巧二：有理數與無理數的運算

運算	結果	例子
有理數 + 無理數	無理數	\( 3 + \sqrt{2} \) 是無理數
有理數 × 無理數（非零）	無理數	\( 5 \times \sqrt{3} \) 是無理數
有理數 ÷ 無理數	無理數	\( \frac{4}{\sqrt{2}} \) 是無理數
無理數 + 無理數	可能是有理數或無理數	\( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)（有理數）
無理數 × 無理數	可能是有理數或無理數	\( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \)（有理數）

技巧三：循環小數化分數（DSE 核心技能）

將循環小數轉換為分數的步驟：

1. 設 \( x = 0.\overline{ab} \)
2. 乘以 \( 100 \)（或 \( 10^n \)，其中 \( n \) 為循環節位數）
3. 相減消去循環部分
4. 解 \( x \)

例題：將 \( 0.\overline{27} \) 化為分數。

設：

$$ x = 0.\overline{27} = 0.272727\ldots $$ $$ 100x = 27.272727\ldots $$ $$ 100x - x = 27.272727\ldots - 0.272727\ldots = 27 $$ $$ 99x = 27 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} $$

因此，\( 0.\overline{27} = \frac{3}{11} \)。

6. 例題

例題 1：分類下列數字

判斷以下數字是有理數還是無理數：

(a) \( \sqrt{9} \)     (b) \( \sqrt{7} \)     (c) \( 3.\overline{4} \)     (d) \( \pi \)

例題 2：DSE 風格分類題（MC）

題目：以下哪一個是無理數？

A. \( \sqrt{25} \)     B. \( 0.\overline{12} \)     C. \( \sqrt{2} \)     D. \( \frac{22}{7} \)

例題 3：DSE 風格運算題

題目：若 \( r \) 是有理數，\( s \) 是無理數，以下哪項 必定 是無理數？

A. \( r + s \)     B. \( r \times s \)（其中 \( r \neq 0 \)）     C. \( r - s \)     D. 以上全部

7. DSE 風格練習題

8. 題解

基礎練習

點擊下列鏈接查閱：
 練習編 - 數系全面拆解：有理數與無理數之分

重點總結

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複習清單

• 有理數 = 可寫成 \( \frac{p}{q} \)
• 無理數 = 不能寫成 \( \frac{p}{q} \)
• 有理數的小數：有限或循環
• 無理數的小數：無限不循環
• 平方數的平方根 → 有理數
• 非平方數的平方根 → 無理數
• 有理數 ± 無理數 → 無理數（必定）
• 有理數 × 無理數（非零有理數）→ 無理數（必定）
• \( 0.\overline{ab} = \frac{ab}{99} \) — 循環小數化分數快捷公式